Funcion exponencial

NOMBRE

NRC

ID

ASIGNATURA

FECHA

FUNCIONES EXPONENCIALES

La función de la forma  se denomina una función exponencial, donde a es la base constante positiva diferente de 1, x el exponente y f(x) la potencia. Cuando a >1 es una función exponencial creciente, y si a < 1, es una función exponencial decreciente. Su dominio y rango son los siguientes:[pic 1]

• Dominio: todos los números reales ℝ: (- ∞, +∞)
• Rango: todos los números reales positivos: (0, +∞)

Es decir, si a > 0, ax > 0 para todos los valores de x, positivos, negativos y cero.

Figura 1

Gráfica de la familia de funciones  con varios valores de la base a.[pic 2]

[pic 3]

En la Figura 1 se ven tres tipos de funciones exponenciales : si 0 < a < 1 la función disminuye; si a = 1 la función es constante (ni crece ni decrece), y si  a >1 la función aumenta. Asimismo, a medida que la base a se vuelve más grande, la función crecerá más rápido.[pic 4]

Figura 2

Gráfica de funciones exponencial si 0 < a < 1, a = 1 y a > 1

[pic 5]

1. [pic 6]

[pic 7]

1.  [pic 8]

[pic 9]

1. [pic 10]

En la Figura 2.a se observa que. Por ende, , la gráfica de  es la reflexión de  respecto al eje y. Cabe resaltar que todas estas gráficas pasan por (0,1) ya que  para .[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Tabla 1

 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES

NÚMERO e

 De todas las bases para una función exponencial, la más conveniente es el número e que es un número irracional dado por e = 2,7182 (aproximadamente). La función exponencial se denota por  y se denomina la función exponencial natural. Dicho número surge de forma natural como un patrón en un interés compuesto con capitalización continua como una inversión inicial 1 y un aumento de acuerdo con un porcentaje de dicha inversión respecto al tiempo:[pic 33]

Tabla 2

Interés compuesto

El matemático Euler le otorgó su nombre e quizá por ser la primera letra de la palabra exponencial. A continuación, se muestra su gráfica tomándolo como base.

Figura 3

Gráfica de la función  y de varias funciones de la familia de [pic 37][pic 35][pic 36]

[pic 38]

1.                                 b) Familia de funciones [pic 39]

EJEMPLOS DE APLICACIÓN A LAS CIENCIAS ECONÓMICAS

1. Valor de un Jeep: Ronald Yates pagó $22000 por un Jeep nuevo. Suponga que el valor del Jeep se deprecia a una tasa de 20% al año. Por lo tanto, dentro de un año, el valor del Jeep será 80% de su valor actual. Es decir, dentro de un año su valor será $22000(0.80); dentro de dos años, su valor será $22,000(0.80)(0.80) = $22,000(0.80)2, y así sucesivamente. Por consiguiente, la fórmula para determinar el valor del Jeep en un momento dado es:

[pic 40]

Donde t es el tiempo en años. Determine el valor del Jeep a) dentro de un año, y b) dentro de 5 años:

Solución:

1. Para determinar el valor que tendrá el Jeep dentro de un año, sustituya t por 1:

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

Dentro de un año, el valor del jeep será de $17600.

1. Para determinar el valor que tendrá el Jeep dentro de 5 años, sustituya t por 5:

[pic 44]

[pic 45]

                                                  [pic 46]

[pic 47]

Dentro de cinco años, el valor del Jeep será de $7208,96.

1. Primas por seguro de salud: En Estados Unidos, las primas por seguro de salud se han elevado a partir de 2000 como se muestra a continuación:

Figura 4

Primas por seguro de salud de 2000 a 2005:

[pic 48]

Nota. Primas por seguro de salud. Tomado de Álgebra intermedia (p.629), por Allen R. Angel, 2008, PEARSON Educación. 

Una función exponencial que se aproxima mucho a esta curva es . En esta función, f(t) es la prima mensual y t es el número de años a partir de 2000. Suponga que las primas de seguro de salud continúan aumentando como en el pasado. Utilice esta función para aproximar las primas mensuales por seguro de salud en a) 2006 y b) 2010[pic 49]

...