La función exponencial

La función exponencial:

Es conocida formalmente como la función real ex, donde “e” es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde “e” es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

Ejemplo:

a) La función f definida por f(x)= 2x es la función exponencial de base 2.

b) La función g definida por g(x)=(1/2)x es la función exponencial de base 1/2.

Representación del grafico de la función exponencial

En primer lugar, comenzar con las propiedades de la gráfica de la función exponencial de base de una base,

f (x) = ax , a > 0 y no es igual a 1.

El dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales. El rango de f es el intervalo (0, + infinito).

La gráfica de f tiene una asíntota horizontal dada por y = 0. Función f tiene interceptar ay en (0, 1). f es una función creciente si a es mayor que 1 y una función decreciente si a es menor que 1.

Ejemplo:

x -2 -1 0 1 2

Exp2(x) ¼ ½ 1 2 4

x -2 -1 0 1 2

Exp ½ (x) 4 2 1 ½ 1/4

Algunas propiedades de la función exponencial

Si f(x)=ax;a>1

1. f(x)>0, para toda x € R

2. f(0)=1

3. f(1)=a

4. f es biyectiva.

5. f es creciente en todo dominio

6. Si x tiende a +∞ entonces ax tiende a +∞

7. Si x tiende a -∞ entonces ax tiende a 0

La función exponencial de base e ¼ 2; 718281

Se llama función exponencial de base e.

Expe: R ]0,+∞[,

X ex

Dado que e >1 esta función posee las mismas propiedades de la función exponencial de base “a>1”.

La función Logarítmica y sus propiedades

Como la función exponencial es biyectiva, entonces existe su función inversa la llamamos función logarítmica.

1. La función logarítmica está definida únicamente para números reales mayores que cero.

2. La base de la función logarítmica es un número real positivo diferente de 1.

Representación del gráfico de la función logarítmica.

Considerando las funciones logarítmicas f y g, definidas respectiva mente por f(x)=log2x, g(x)=log1/2x.

x 4 2 1 1/2 ¼

Log1/2(x) -2 -1 0 1 2

x 1/4 1/2 1 2 4

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