Temario Función exponencial

Función exponencial

FUNCION EXPONENCIAL

Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función

f:ℜ → ℜ

x → f(x) = ax

Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x».

Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de las potencias:

1- a° = 1

2- a-n = 1/an

Propiedades de la función exponencial y = a x

1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a° = 1

2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a¹ = a

3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x) >0.

Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo.

4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.

5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.

Representación gráfica de la función exponencial

Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función y = ax:

a) a > 1

En este caso, para x = 0, y = a° = 1

para x = 1, y = a¹ = a

para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la función y = 2x.

b) a < 1

Para x = 0, y = a° = 1

Para x = 1, y = a¹ = a

Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la función y = (1/2)x.

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.

No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.

Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:

1- ax = ay ⇔ x = y

Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.

2- ax.ay = ax + y

3- ax/ay = ax - y

4- (ax)y = ax.y

El uso de los logaritmos, como se verá más adelante, facilita en muchas ocasiones la resolución de estas ecuaciones.

Ejemplo

1) Resolver = 1/8

Resolución:

- Expresando 1/8 como potencia de 2: = 1/2³

= 2‾³⇒ 1 - x² = -3

Basta ahora con resolver esta ecuación de segundo grado.

1 - x² = -3 → x² = 4 → x = ± 2

Resolver 4x+1 + 2x+3 = 320

Resolución:

En algunas ecuaciones es necesario hacer un cambio de variable para su resolución.

Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, la ecuación puede escribirse:

4.4x + 2³•2x = 320 → 4.4x + 8•2x = 320

Expresando 4x como potencia de dos,

4.2².x + 8.2x = 320

Se hace el cambio de variable 2x = y, (por tanto 2².x = y²) y se obtiene:

4 y² + 8 y = 320

Basta ahora con resolver esta ecuación:

y² + 2 y - 80 = 0

Se deshace ahora el cambio y = 2x

y1 = -10 = 2x. No es posible encontrar un x que verifique esta condición (2x es siempre positivo)

y2 = 8 = 2x → x = 3

La solución es, por tanto, x = 3

Resolver 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651

Resolución:

Aplicando las propiedades de las potencias, la ecuación se puede escribir como

5x + 5² •5x + 54 •5x = 651

Sacando factor común 5x:

5x (1 + 5² + 54) = 651

5x•651 = 651 → 5x = 1 → x = 0

Algunas ecuaciones exponenciales requieren, para su resolución, el empleo de logaritmos y por ello se tratarán junto con las ecuaciones logarítmicas

Ejemplo de sistemas de ecuaciones exponenciales

1) Resolver el sistema: 2x - 4².y = 0

x - y = 15

Resolución:

Se despeja x en la segunda ecuación:

x = 15 + y

Se sustituye este valor de x en la primera ecuación:

215+y - 4².y = 0 (Pero 4 = 2²)

215+y - (2²)².y = 0

215+y - 24y = 0 ⇒ 215+y = 24y ⇒ 15 + y = 4 y ⇒ 3 y = 15 ⇒ y = 5

Se sustituye el valor de y = 5 en x = 15 + y:

x = 15 + 5 = 20

Por tanto, y = 5 x = 20

2) Resolver el sistema: 22.x + 5.y = 2

2-.x + y = 8

Resolución:

Se ponen todos los factores como potencia de base 2:

22.x + 5.y = 2¹ ⇒ 2.x + 5.y = 1

2-x + y = 2³ ⇒ -x + y = 3

Resolviendo este sistema de ecuaciones por cualquier método resulta,

x = -2; y = 1

3) Resolver el sistema: 2x + 2y = 24

2x.2y = 128

Resolución:

2x + 2y = 24 Haciendo el cambio 2x = a resulta el sistema

2x.2y = 128 2y = b

a + b = 24 Resolviendo este sistema se obtiene a = 8; b = 16

a.b = 128

Para obtener los valores de x e y hay que deshacer el cambio:

a = 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 2³ ⇒ x = 3

b = 16 ⇒ 2y = 16 ⇒ 2y = 24 ⇒ y = 4

LOGARITMOS

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.

Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:

loga N = x

y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».

Por lo tanto, loga N = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N

(notación exponencial).

Propiedades de los logaritmos

1. Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.

loga(X • Y) = loga X + loga Y

Demostración:

Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y.

loga(X • Y) = loga (ax • ay) = loga ax + y = x + y = loga X + loga Y

Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.

Si X1 , X2 , X3 , ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos,

loga(X1 • X2 ... Xn) = loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn

2. Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

log a X/Y = log a X - log a Y

Demostración:

Sea loga X = x; esto significa que ax = X

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y

log a (X/Y) = log a (ax/ay) = log a (ax - y) = x - y =

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