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FUNCION EXPONENCIAL.


Enviado por   •  9 de Febrero de 2016  •  Resumen  •  1.543 Palabras (7 Páginas)  •  316 Visitas

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FUNCION EXPONENCIAL.

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2   y   g(x) = 2x.   Las funciones f  y  g no son iguales.  La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante.  Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x  es una función con una base constante elevada a una variable.  Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición:  

Una función exponencial con base a es una función de la forma f(x) = ax , donde a  y  x son números reales tal que a > 0  y  a es diferente de uno. 

{(x,y) / y = ax, x ∈ R}

El dominio  es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos, puesto que un número positivo jamás se convierte en negativo o cero por mas que se eleve a distintos exponentes..

Propiedades de f(x) = ax, a > 0, a diferente de uno:

  • Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1).
  • Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
  • El eje de x es la asíntota horizontal.
  • Si  a > 1 (a, base), entonces ax aumenta conforme aumenta x. (función creciente)
  • Si  0 < a < 1, entonces ax disminuye conforme aumenta x. (función decreciente)
  • La función f es una función uno a uno.

Cuando se trabaja con funciones exponenciales, en algunas ocasiones, es necesario aplicar las propiedades de las exponentes: para a y b números positivos y diferentes de uno, x , y números reales:

 

  1. Leyes de los exponentes:

a)

a0 = 1

Cualquier número elevado al exponente cero es igual a uno

b)

a1 = a

Un numero elevado al exponente uno es el mismo número

c)

(ax) (ay) = a x + y

La multiplicación de dos bases iguales con diferente exponente, se pone la misma base y se suman   los exponentes

d)

(a x )y = axy

Cuando un exponente se eleva a otro exponente, ambos se multiplican

e)

[pic 1]

Cuando la base esta elevada a un exponente negativo, se baja con el exponte positivo

f)

[pic 2]

En un cociente si el denominador tiene un exponente negativo se sube con el exponente positivo

g)

[pic 3]

El cociente de dos bases iguales con diferente exponente, es la misma base con los exponentes restados ( al de arriba se le resta  el de abajo)

h)

[pic 4]

El cociente de dos bases diferentes elevadas a un mismo exponente, es el cociente de cada una de las bases a ese mismo exponente.

Gráfico de la función exponencial

Ejemplo 1

Graficar en un mismo sistema de ejes  las funciones f(x) = 2x    y   g(x) = [pic 5]

Solución:

Como el dominio de la función son todos los reales, procedemos a tabular.

x

f(x) = 2x

y

(x,y)

g(x) = [pic 6]

(x, y)

–3

f(–3) = 2–3 =[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

g(–3) = [pic 10]

(–3, 8)

–2

f(–2) = 2–2 = [pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

g(–2) = [pic 14]

(–2, 4)

–1

f(–1) = 2–1 = [pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

g(–1) = [pic 18]

(–1, 2)

0

f(0) = 20 = 1

1

(0, 1)

g(0) = [pic 19]= 0

(1, 0)

1

f(1) = 21 = 2

2

(1, 2)

g(1) = [pic 20]= [pic 21]

[pic 22]

2

f(2) = 22 = 4

4

(2, 4)

g(2) = [pic 23]=[pic 24]

[pic 25]

Los gráficos quedaran así.

[pic 26][pic 27]

[pic 28]

Ejemplo 2

Graficar en un mismo sistema de ejes  las funciones [pic 29]    y   [pic 30]

Solución: [pic 31]

...

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