Funcion Exponencial Y Lorgaritmos

Función exponencial

La ecuación de una función exponencial con base b tiene la forma:

〖y=Ab〗^(g(x))

Donde g es función de x.

Donde x acepta cualquier valor real, b es un número positivo y distinto de 1, A > 0.

La grafica de una función exponencial puede ser creciente o decreciente, según que la base b sea mayor o menor que 1.

Crecimiento exponencial: b > 1

Decaimiento exponencial: b < 1

Propiedades de la función exponencial:

El dominio consiste en la en todos los números reales de x, es decir [-∞,∞].

El rango consiste en todos los números positivos y, es decir, el valor puede tomar la variable de la dependiente se halla en el intervalo y > 0, pues para cualquier valor de x, la expresión b^x nunca podrá ser igual a cero ni a un número negativo.

Las funciones exponenciales son inyectivas, es decir, tienen función inversa.

La función inversa de la función exponencial se llama función logarítmica.

EJEMPLOS:

Despejamos x de 1/3^(x-1) = 81

Solución:

Expresamos 81 como una potencia de base 3 es decir: 3^4 y 1/3^(x-1) como 3^(-(-x-1) )

3^(-(-x-1) )=3^4

De acuerdo con la propiedad biunívoca:

-(x-1)=4

-x+1=4

-x=3

x=-3

Entonces el valor de x=-3

Encontramos el valor de x en la ecuación 〖(3〗^x)3=√3

Solución:

Expresamos √3 como exponente racional, es decir: √3=3^(1/2)

Entonces: 3^x∙3= 3^(1/2) ; por leyes de potencias: 3^(x+1 )=3^(1/2). De acuerdo con la propiedad biunívoca:

x+1=1/2

x=1/2-1

x= -1/2

El número e

El número e es un número irracional y desempeña un papel importante en las matemáticas y sus aplicaciones. Como es un número irracional, su representación decimal es infinita y no repetitiva. Veamos a continuación los 15 primeros decimales de e:

e=2.718281828459045…

Es el límite de la sucesión de valores (1+1/〖n)〗^ncuando n crece indefinidamente.

e es la base más importante de la función exponenciales y logarítmicas. Comenzaremos nuestro estudio con la función exponencial.

Grafica de la función f(x)=e^x

EJEMPLOS:

10 000e^0.07t=20 000

e^0.07t=(20 000)/(10 000)

e^0.07t=2

0.07t ln⁡〖e 〗=ln⁡2

0.07t(1)=0.6931

0.07t=0.6931

t=0.6931/0.07

t=9.9

1000 e^0.06t=3000

e^0.06t=3000/1000

e^(0.06t )=3

0.06t ln⁡〖e 〗=ln⁡3

0.06t(1)=1.0986

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