Función Exponencial

Función Exponencial

Introducción.

Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real.

Potencias de Exponente Racional

Comenzamos recordando algunas nociones sobre potencias que pueden ayudarnos para un mejor entendimiento de los distintos conceptos q serán tratados en este tema.

Relaciones ya conocidas:

34 = 3ˑ3ˑ3ˑ3; 3-4 = (⅓)4 = ⅓ ˑ ⅓ ˑ⅓ ˑ ⅓

3⅓ = ∜3 3⅘ = √(5&3)4

Todas ellas son potencia de 3.

De la misma forma podemos escribir el desarrollo de cualquier potencia de base a y exponente racional:

Principales propiedades de las potencias:

El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores:

ap ˑ aq = ap+q

El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la diferencia de los exponentes del dividendo y del divisor:

La potencia de una multiplicación se efectúa elevando cada uno de los factores a dicha potencia y multiplicando después los resultados:

(aˑb)p = ap ˑ bp

La potencia de una división se efectua elevando el dividendo y el divisor a es potencia y dividendo los resultados obtenidos:

(a¦b)q =

La potencia de una potencia es otra potencia, cuya base es la de la potencia inicial y cuyo exponente es el producto de los exponentes:

(ap)q = apˑq

La potencia de exponente cero, de base distinta de cero, es igual a la unidad:

a0 = 1

Otras propiedades de las potencias con exponente racional que nos ayudaran a comprender mejor su significado son las siguientes:

Si a > 1 y m es el numero natural no nulo, multiplicando sucesivamente por a, se tiene:

a > 1 → a2 > a → a3 > a2 → … → am > am-1

Por la propiedad transitiva de la relacion “ser mayor que” , se tiene:

1 < a < a2 < a3 < … < am-1 < am

Por lo tanto: Si a > 1 y m ϵ N* → am >1

Análogamente, cuando 0 < a < 1 y m es un numero natural distinto de cero, se tienen:

1 > a > a2 > a3 > … > am-1 > am

Y por lo tanto: Si 0 < a < 1 y m ϵ N* → am < 1

Si a > 1 y m es un natural distinto de cero, será a⅟m > 1, pues si fuera a⅟m = √(m&a) = b < 1 →

→ bm = a < 1, en contra de la hipótesis. Por lo tanto:

Si a > 1 y m ϵ N* → a⅟m >

De igual forma, se tiene:

Si 0 < a < 1 y m ϵ N* → a⅟m < 1

De las cuatro propiedades anteriores deducimos:

Si a > 1 y m/n > 0 → a □(m/n) < 1

Si 0 < a <1 y m/(n ) > 0 → 0 < a □(m/n) < 1

Cuando una potencia tiene exponente negativo, se obtiene:

Si a > 1 y m/n < 0 → 0 < a □(m/n) < 1

Si 0 < a <1 y m/(n ) > 0 → a □(m/n) < 1

Si a > 1 y r y s son dos números racionales, tales que r < s, podemos escribir:

as = ar + (s – r) = ar ˑ as – r > ar, puesto que si r – s > 0, entonces as – r > 1

Por tanto, Si a > 1 y r, s ϵ Q con r < s → ar < as

Del mismo modo se tiene:

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