Funciones - Calculo diferencial

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Funciones

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Concepto de Función

Una función 𝑓 es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, tal que para cada elemento 𝑥 del primer conjunto 𝐴, le corresponde un elemento y sólo a uno 𝑓(𝑥) del segundo conjunto 𝐵.

Observaciones

• A se llama el dominio de la función.
• B se llama el codominio o contradominio de la función.
• La imagen de 𝑓 en 𝐵 es el conjunto de las 𝑦 en 𝐵 tal que existe un 𝑥 que cumple que 𝑦 = 𝑓(𝑥)
• 𝑥 se llama variable independiente
• 𝑦 se llama variable dependiente
• La gráfica de 𝑓 es el conjunto de todos los puntos (𝑥, 𝑦) en el plano cartesiano para los cuales

𝑦 = 𝑓(𝑥).

Función Constante

La función constante 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑐 tiene dominio 𝑅 y su imagen es el conjunto formado por el valor 𝑐. Su gráfica es una línea horizontal

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Funciones Potenciales

Una función de la forma

f (x) = xa , donde a es una constante, se llama una función potencial

a) Si a = n , n entero positivo, y = f (x) = xn .

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y = x

y = x 2

y = x3

y = x 4

= 𝑓(𝑥) = 𝑥3[pic 10][pic 11]

= 𝑓(𝑥) = 𝑥5

Dom (f (x) = xn )= ℜ

⎧[0, ∞) Im (f (x) = xn ) = ⎪

⎪[pic 12][pic 13]

⎩

n es par

n es impar

b) Si 𝑎 = 1, 𝑛 entero positivo, 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥1/𝑛 = 𝑛 𝑥, función raíz.[pic 14][pic 15][pic 16]

𝑛

𝑦 = √𝑥        𝑦 = 3√𝑥[pic 17][pic 18]

𝑦 = 4√𝑥

𝑦 = 5√𝑥

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥) = 𝑛√𝑥) =        𝐼𝑚(𝑓(𝑥) = 𝑛√𝑥)[pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

Una función racional es un cociente de dos polinomios

f (x) = P(x) , donde P y Q son polinomios.

Q(x)[pic 23]

Dom( f ) = {x∈ ℜ |Q(x) ≠ 0}

Una función P se llama función polinomio o polinomial

P(x) = a

xn + a

xn−1 +... + a

x2 + a x + a

n        n−1

2        1        0

Donde n es un entero no negativo, llamado grado del polinomio, 𝑎𝑛 ≠ 0 y los números

𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 son constantes llamadas coeficientes de un polinomio con 𝑎𝑛 = 𝑇é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑙í𝑑𝑒𝑟

y 𝑎0 = 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒. El dominio de cualquier polinomio es 𝑅 = (−∞, ∞).

𝑛 = 1, 𝑃(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 𝑚𝑥 + 𝑏,

𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑦2−𝑦1 , 𝑏 = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛

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