Las Funciones En El Calculo Diferencial

Definición de Función

En 1755 Leonard Euler definió a la función de la siguiente manera "Si algunas cantidades dependen de otras cantidades de tal manera que si las ultimas cambian las primeras también cambian, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las ultimas"

Esta definición de Euler nos quiso decir que una función es la relación que existe entre dos conjuntos cualesquiera, donde uno es totalmente dependiente del otro.

En una función donde tenemos un dominio que son todos los valores que puede tomar la variable independiente determinado por "x" ,y un rango o recorrido que son los valores que toma la variable dependiente determinado por "y" formando de esta manera la grafica o imagen de la función.

Representación de Funciones

Pares ordenados

Puedes escribir las entradas y salidas de una función como "pares ordenados", como (4,16).

Se llaman pares ordenados porque la entrada siempre va primero y la salida después.

Así que (4,16) significa que la función toma "4" y devuelve "16"

Y una función se puede definir como un conjunto de pares ordenados:

Ejemplo: {(2,4), (4,5), (7,3)} es una función que dice que "2 se relaciona con 4", "4 se relaciona con 5" y "7 se relaciona con 3".

Fíjate también en que el dominio es {2,4,7} y el rango es {4,5,3}

Pero la función debe ser uní valuada, esto se puede decir

"si contiene (a, b) y (a, c), entonces b tiene que ser igual a c"

Es otra manera de decir que una entrada "a" no puede dar dos resultados diferentes.

Ejemplo: {(2,4), (2,5), (7,3)} no es una función porque {2,4} y {2,5} quieren decir que 2 estaría relacionado con 4 y 5, o sea no es uní valuada

Letras

Las funciones tienen notación que nos indica de manera directa a la variable independiente "x" y la variable dependiente como una letra manuscrita (por lo general se utiliza f) y con la variable independiente entre paréntesis quedando de la siguiente manera f(x) . Al querer evaluar la función , sustituiremos la variable independiente "x" por un valor que pertenezca al dominio "a" el cual lo indicaremos dentro de los paréntesis f(a), y la variable independiente tendrá ese valor en cada lugar donde aparezca "x" en la expresión original. ejemplo:

f(x)=3x+5

f(3)=3(3)+5

f(3)=9+5

f(3)=14

Como determinar si tratamos con una función

Para determinar si tratamos con una función utilizamos la prueba llamada "criterio de la recta vertical" la cual consiste en trazar una recta vertical en cualquier punto del domino de la función , y esta solo debe cortar un punto en la grafica de la función , de lo contrario si esta corta dos o mas puntos se dice que no es función.

Una forma de representar una función es graficando su recorrido.

Graficas de las funciones

Las funciones en ocasiones son tan especificas que podemos determinar ciertas características como son sus intersecciones con los ejes , su forma ,su simetría, su dominio y rango, por ejemplo con tan solo prestar un poco en la ecuación de la función.

Intersecciones con los ejes

Una intersección es punto donde dos líneas, puntos, o rectas se cruzan o también se puede decir que tienen en común el mismo punto.

En las graficas de las funciones se pueden presentar intersecciones con los dos ejes , con un eje , o con ningún eje.

Podemos encontrar las intersecciones con los ejes de manera sencilla , lo primero que debemos hacer es sustituir el valor para cada eje (x o y) por 0 dependiendo el caso, despejar y resolver de manera directa el resto de la expresión. tenemos dos tipos de intersecciones con los ejes que son :

*ordenada en el origen o intersección con el eje Y [0,b], que es cuando X tiene un valor de 0 e Y tiene un valor en el recorrido de la función (llamado así debido a que el origen del dominio es 0 )

* ordenada en la abcisa o intersección con el eje X [a,0] que es cuando x tiene cualquier valor en el dominio e Y un valor igual a 0 (llamado así debido a que el eje x también es llamado eje de las abcizas y esta situado en y=0 a lo largo de todo plano) ejemplos:

Clasificación de las Funciones por su naturaleza

Función polinomial

Estas son las funciones donde la variable independiente es de primer grado , nos da como resultado una grafica de una recta la cual posee una característica única como la pendiente , esta tiene un dominio desde menos infinito a infinito y una recorrido que puede ir desde menos infinito a infinito.

Función de una raíz Cuadrada

Esta función ocurre cuando la variable independiente se ve afectada por una raíz cuadrada, su forma empieza como una ligera curva ascendente que avanza hacia los valores positivos, esta tiene la cualidad de solo existir en los valores positivos

en X y en Y , esto nos da que esta tiene un dominio que empieza en cero y va a infinito ,al igual que su recorrido que va también de cero a infinito.

Función Racional

Esta función ocurre cuando la variable independiente se encuentra en el denominador de la ecuación, esta tiene forma de curva que se dispara a infinito o menos infinito cuando ocurre una indeterminación en el denominador ( cuando este tiene un valor de cero) , esta tiene un dominio que va desde menos infinito a infinito a igual que su recorrido puede ir desde menos infinito a infinito.

Funciones Trigonometriítas

Estas ocurren cuando la variable independiente se ve afectada por una función trigonometría como puede ser

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