Funciones Exponenciales Y Logaritmicas

Ecuación Exponencial.

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:

1.

2.

3. Las propiedades de las potencias.

a0 = 1 a1 = a

a1 = a

am • a n = am+n

am : a n = am - n (am)n = am • n

an • b n = (a • b) n an : b n = (a : b) n

Resolución de ecuaciones exponenciales

Caso 1

Realizar las operaciones necesarias para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podemos igualar los exponentes.

Ejemplos

1.

2.

3.

Caso 2

Si tenemos la suma de los n términos de una progresión geométrica, aplicamos la fórmula:

Ejemplo

Caso 3

Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir a un cambio de variable.

Ejemplos

1.

En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes.

Posteriormente realizamos el cambio de variable:

Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.

2.

3.

Deshacemos el cambio de variable en primer con el signo más.

Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y en el primer miembro aplicamos la propiedad:

Despejamos la x

Con el signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el segundo miembro nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo, que no existe.

Caso 4

Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.

Ejemplo

Ecuación logarítmica

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1. Las propiedades de los logaritmos.

1

2

3

4

5

6

7

2. inyectividad del logaritmo.

3. Definición de logaritmo.

4. Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos.

Ejemplos

1.

En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de una potencia.

...