FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIONES EXPONENCIALES

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x2 y g(x) = 2x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2x

Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:

1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3) El eje de x es la asíntota horizontal.

4) Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.

5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.

6) La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:

1) Leyes de los exponentes:

2) ax = ay si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.

Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1) 2x = 8

2) 10x = 100

3) 4 x - 3 = 8

4) 5 2 - x = 125

Ejercicio de práctica: Halla el valor de x:

1) 2x = 64

2) 27 x + 1 = 9

La función exponencial de base e

Al igual que p, e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).

Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e.

Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.

La gráfica de f(x) = ex es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de

f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como se ilustra a continuación:

En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base b.

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