Funcion Logaritmica Y Exponenciales

FUNCIONES EXPONENCIALES

Una función exponencial con base a se define como:

y = f (x) = a x

donde aÎ R con a > 0 , a ¹ 1 y x es un número real.

Esto significa que la base de la función exponencial siempre es positiva, por lo que el valor de f (x) siempre es

positivo. Además, la base no puede ser la unidad, porque se convertiría en la función constante ( ) = 1x = 1 f x .

Es importante que esta función no se confunda con la función ( ) a f x = x , cuya base es x que asocia a

cada número real a un número positivo a x . El comportamiento de estas funciones es muy distinto. Para

ejemplificar esto, se toma el valor de a = 3 y tabulando ambas funciones, se tiene:

Como puede apreciarse, la diferencia de valores es considerable, ya que en la primera función sólo se

calcula el cubo del número y en la segunda se comporta de forma exponencial.

DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Al graficar la función x y = 3 tomando en consideración la tabulación anterior, se obtiene:

x

y

20

40

60

80

-3 -2 -1 1 2 3 4

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

( ) 3 f x = x -27 -8 -1 0 1 8 27 64 125 216

( ) x f x = 3 0.037 0.111 0.333 1 3 9 27 81 243 729

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Funciones exponencial y logarítmica Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2

Ahora, si se grafica la función

x

y 







 =

7

1

, se tiene:

x

x

y 







 =

7

1

-3

-2

-1

0

1

2

3

343

49

7

1

0.1428

0.0204

0.0029

Graficando la función y = 2.7x , se obtiene:

x x y = 2.7

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0.0188

0.0508

0.1371

0.3703

1

2.7

7.29

19.683

53.1441

Finalmente, si se grafica la función

x

y 







 =

4

1

, se tiene:

x

x

y 







 =

4

1

-3

-2

-1

0

1

2

3

64

16

4

1

0.25

0.0625

0.015625

x

y

20

40

60

80

-3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

20

40

60

80

-3 -2 -1 1 2 3 4

x

y

20

40

60

80

-3 -2 -1 1 2 3 4

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Funciones exponencial y logarítmica Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

3

De acuerdo a lo anterior, se puede concluir que :

· El dominio de la función exponencial es el intervalo abierto: (-¥,¥)

· El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos: (0,¥)

· No cruza al eje x , siempre corta al eje y en el punto P(0,1) y pasa por el punto P(1,a)

· Siempre es creciente si a >1 y siempre es decreciente si 0 < a <1

· La función crece más rápido si la base es cada vez mayor y decrece más rápido si la base es cada vez menor

· Es continua

· Si el valor de la base es uno, a se convierte en la función constante f (x)=1, representada por una

recta paralela al eje x , a una unidad de distancia.

Es importante mencionar que se pueden modificar los parámetros de la función exponencial de manera

similar a los que las funciones trigonométricas. Esto es, se pueden presentar variaciones de la forma:

( ) x f x = k × a , ( ) k x f x a

= × , ( ) k x f x a

= + , ( ) f x a k = x + , etc.

ECUACIONES EXPONENCIALES

A las ecuaciones que contienen términos de la forma x a , a > 1 , a ¹ 1 se les llama ecuaciones

exponenciales. Tales ecuaciones pueden resolverse aplicando de forma apropiada las leyes de

exponentes1 de forma tal que pueda llegarse a una expresión con la misma base y reducir, teniendo en

cuenta que: a a u v u = v Û =

Ejemplos.

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1) 3 27 x+1 =

Solución.

Por ser 3 y 27 múltiplos de 3, la igualdad anterior se puede escribir como: 1 3 3 = 3 x+ , pero se sabe

que las cantidades iguales con bases iguales tienen exponentes iguales, así que: x +1 = 3 .

Resolviendo la ecuación se tiene: x = 3 -1 ⇒ x = 2

2) 2 2 8 32

x- = x+

Solución.

Por ser 8 y 32 múltiplos de 2 , la igualdad anterior se puede escribir como: ( ) ( 5 ) 2 3 2 2 2

- + = x x

de

donde: 3 6 5 10 2 2

x- = x+ , pero se sabe que las cantidades iguales con bases iguales tienen exponentes

iguales, por tanto: 3x - 6 = 5x +10 , resolviendo, se tiene: 8

2

16

2 16 = -

-

- x = ⇒ x =

3)

2

1

2 2 2 x + x =

Solución.

1 Las leyes de exponentes más aplicadas en este tipo de ecuaciones son: m n m n x x x

× = + , m n

n

m

x

x

x = - y ( ) m n m n x x

= × .

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Funciones exponencial y logarítmica Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

4

Como 1 2

2

1 = - , la ecuación se puede escribir como: 2 1 2 2

x2 + x = - . Pero se sabe que las cantidades

iguales con bases iguales tienen exponentes iguales, se tiene: 2 1 2 1 0 x 2 + x = - ⇒ x 2 + x + = ,

resolviendo la ecuación de segundo grado por factorización:

( 1)( 1) 0 1 1 1 2 x + x + = ⇒ x = - x = - .

4) 5 3 25 550 2 x+1 - × 2 x-1 =

Solución.

Aplicando leyes de exponentes se tiene:

5 550

5

3

5 5 3 5 5 550 5 5 2x × - × 2 x × -1 = ⇒ 2 x × - × 2 x =

Multiplicando por 5 :

25 5 3 5 2750 × 2x - × 2 x =

factorizando 2x 5 :

5 (25 3) 2750 5 22 2750 2 x × - = ⇒ 2 x × =

22

2750

52x = 5 125 ⇒ 2 x = 2 3 ⇒ 5 x = 5

2

3

\ 2x = 3 ⇒ x =

5)

9

13

3 3 3 x+2 + x+1 + x =

Solución.

Aplicando leyes de exponentes se tiene:

9

13

3 9 3 3 3

9

13

3 3 3 3 3 x × 2 + x × + x = ⇒ x × + x × + x =

factorizando x 3 se tiene:

( )

9

13

3x 9 + 3 +1 =

( ) 3 3 2

3

1

3

9

1

3

9

13

3 13 2

2 ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = - ⇒ = - x x x x x

6)

4

5

2

2 2 + = x - x

Solución.

Multiplicando la ecuación por dos:

4

10

2 2

4

5

2

2

2 2

2 = × ⇒ + = × + -

-

x x

x x

2

5

⇒ 2x + 2-x =

Multiplicando ambos miembros por x 2 :

( ) 1 0

2

5

2 2

2

5

2 1

2

5

2 2 2 2

2

+ - = × ⇒ 2 + = ⇒ 2 - + =

x

x x x x x x x

haciendo el cambio de variable: x u = 2 , se llega a:

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Funciones exponencial y logarítmica Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

5

1 0 2 5 2 0

2

5 u2 - u + = ⇒ u2 - u - =

aplicando fórmula general:

a = 2, b = -5, c = -2 :

( ) ( ) ( )( )

( ) 4

5 3

4

5 9

4

5 25 16

2 2

5 5 4 2 2 2 = - - ± - - - = ± - = ± = ± u

2

4

8

4

5 3

1 ⇒ u = + = =

2

1

4

2

4

5 3

2 ⇒ u = - = =

sustituyendo en x u = 2 :

2 2 2 1 1

= = 1 ⇒ x = x

2 1

2

1

2 2

= = -1 ⇒ = - x x

INTERÉS COMPUESTO

Si se deposita una cantidad de dinero M en una cuenta que paga una tasa de interés anual i, se

puede obtener el capital C que se tendrá en esa cuenta al final de t años. El capital será el monto

original más el rendimiento que generó en ese tiempo, es decir M + M ×i ×t , o bien:

C = M(1+ i × t )

Si se deposita esa misma cantidad, pero los intereses se pagan cada seis meses (llamado periodo de

capitalización), entonces el capital al final del primer semestre será: 







 = +

2

1

i

C M , la cuenta comenzará el

segundo periodo con ese valor, pero terminará con un saldo de:

2

2

1

2

1

2

1 







 + = 







 + × 







 = + i

M

i i

C M .

Si se prosigue sucesivamente con el proceso, al final de diez años,

...