Funciones Exponenciales Y Logaritmicas

Función exponencial

Se llama así a la función y= f(x) = ax, cuando a>0, es decir una potencia donde la variable independiente es el exponente, siendo la base una constante positiva.

Tendremos, por ejemplo, f(3/2)= a3/2. Tomando la raíz aritmética, la función queda unívocamente definida para todo x racional, y su variación en este campo resulta de lo siguiente:

Las potencias de exponente racional de los números positivos mayores(menores) que uno, son mayores(menores) que uno si el exponente es positivo, y son menores(mayores) que uno si es negativo. En ambos casos crecen(decrecen) al crecer el exponente.

Si a=1, se reduce a la función constante f(x) =1 y no la consideramos como función exponencial.

Con lo establecido anteriormente, podemos enunciar las siguientes propiedades de la función exponencial:

• Para todo x es ax>0. En particular, la función exponencial no se anula nunca.

• f(0) = a0 =1. [Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1)]

• f(1) = a1 = a.

• Para a>1 (es decir, b>0) es monótona creciente desde 0 hasta ð; para a<1(es decir, b<0) es monótona decreciente desde ð hasta 0, tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð bð .

lim ax = + ð (a>1) lim ax = 0 (0<a<1)

x →ð ð x →ð ð

• La curva se aproxima asintóticamente al eje x(para b>0 a la izquierda, para b<0 a la derecha), tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð bð .

lim ax = 0 (a>1) lim ax = +ð (0<a<1)

x →ð ð x →ð ð

Función logarítmica

Se llama así a la función inversa a la exponencial, que existe en base a lo demostrado anteriormente:

x = ð (y) = loga y, definida para 0<y<+ð, si a>0 y að1.

Escribamos ahora la función de otra forma:

y = ð (x) = loga x,

donde llamamos de nuevo x a la variable independiente e y a la función, y obtenemos de la gráfica de la función exponencial, la gráfica de la función logarítmica por simetría de primer y tercer cuadrantes.

Por las propiedades de los logaritmos vistas previamente enunciamos las siguientes:

• La función logax sólo está definida para x>0.

• logaa =1 y loga1=0. [Todas las gráficas pasan por el punto (1, 0)]

• Para a>1 (es decir, b>0) es monótona creciente desde -ð hasta +ð; para a<1 (es decir, b<0) es monótona decreciente desde +ð hasta -ð, tanto más lentamente cuanto mayor sea

ð loga xð .

lim logax = + ð (a>1) lim logax = ðð (0<a<1)

x →ð ð x →ð ð

• La curva se aproxima asintóticamente al eje y(para a>1 hacia abajo, para a< 1 hacia arriba), tanto más rápidamente cuanto mayor sea ð logaxð .

lim logax = ðð (a>1) lim logax = +ð (0<a<1)

x →0ð x →0+

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