Aplicaciones De Funciones Exponenciales Y Logarítmicas

Aplicaciones de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Modelado de Situaciones

En la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, aprendimos a obtener la fórmula de funciones exponenciales de acuerdo a situaciones planteadas. Ahora que sabemos cómo obtener las fórmulas vamos a utilizarlas para resolver problemas de la vida real.

Ejemplo 1:

Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.

 ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?

 ¿Cuántas aves hay después de 4 años?

 ¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Solución:

¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?

Si x representa el número de años transcurridos, según lo aprendido en la lección de Introducción a Funciones Exponenciales, sabemos que la fórmula para la población es:

f x = 50 × 3 x2

¿Cuántas aves hay después de 4 años?

Usando la fórmula para x = 4, la población será:

f 4 = 50 × 3 42 = 50 × 3 2 = 450

Después de 4 años habrá 450 aves.

¿Después de cuánto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1000:

f x = 50 × 3 x2 1000 = 50 × 3 x2 20 = 3 x2 ln (20 ) = ln ( 3 x2 ) ln (20 ) = x2 ln (3 ) 2 ln (20 )ln (3 ) = x x = 5.4

La población de aves será de 1000 individuos después de 5.4 años.

Ejemplo 2:

Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas.

 ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente ?

 ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?

 ¿Después de cuánto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?

Solución:

 ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente?

Si x representa el número de horas transcurridas, la fórmula para la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo del paciente es:

f x = 50 × 13 x 5

 ¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?

Usando la fórmula para x = 3:

f 3 = 50 × 13 3 5 = 50 × 13 0.6 ≈ 25.86

Después de 3 horas quedan aproximadamente 25.86 miligramos del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente.

 ¿Después de cuánto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1 :

f x = 50 × 13 x 5 1 = 50 × 13 x 5 150 = 13 x 5 ln 150 = ln 13 x 5 ln ( 150 ) = x 5 ln ( 13 ) 5 ln ( 150 ) ln ( 13 ) = x x ≈ 17.8

Después de aproximadamente 17.8 horas, solo quedará 1 miligramo del medicamento en la sangre del paciente.

Ejemplo 2:

Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera parte cada 5 horas.

¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente?

¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?

¿Después de cuánto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?

Solución:

¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente?

Si x representa el número de horas transcurridas, la fórmula para la cantidad de medicamento en el torrente sanguíneo del paciente es:

f x = 50 × 13 x 5

¿Cuántos miligramos del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?

Usando la fórmula para x = 3:

f 3 = 50 × 13 3 5 = 50 × 13 0.6 ≈ 25.86

Después de 3 horas quedan aproximadamente 25.86 miligramos del medicamento en el torrente sanguíneo del paciente.

¿Después de cuánto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del torrente sanguíneo del paciente?

Queremos encontrar el valor de x para el cual f(x) = 1 :

f x = 50 × 13 x 5 1 = 50 × 13 x 5 150 = 13 x 5 ln 150 = ln 13 x 5 ln (150) = x 5 ln ( 13 ) 5 ln ( 150 ) ln ( 13 ) = x x ≈ 17.8

Después de aproximadamente 17.8 horas, solo quedará 1 miligramo del medicamento en la sangre del paciente.

Encontrar la Función a Partir de Valores Dados

Ejemplo 1:

En una investigación científica, una población de moscas crece exponencialmente. Si después de 2 días hay 100 moscas

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