Funciones Exponenciales

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Función Exponencial

Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.

Como para todo ,la función exponencial es una función de en .

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

Teorema (Leyes de los Exponentes)

Sean a y b reales positivos y x,yÎÂ ,entonces:

1.

2.

3.

4.

5. .

6.

Cuando a > 1, si x < y, entonces, .Es decir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial

de base a es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, .

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio.

.

Si 0< a < b, se tiene:

.

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.

Cualquiera que sea el número real positivo , existe un único número real tal que

. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.

Gráfica de la Función Exponencial

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

(fig.1)

(fig.2)

Se nota que cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir, crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es, tiende a cero (0), cuando x toma valores grandes pero negativos.

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.

El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones

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