FUNCIÓN EXPONENCIAL. ECUACIONES EXPONENCIALES

FUNCIÓN EXPONENCIAL.

MAIRA ALEJENDRA DOMINGUEZ OSSA.

XIOMARA OBREGON REALPE.

HEIDY DAYANA SERRANO QUINTERO.

JUAN SEBASTIAN SALAZAR CORTES.

INSTITUCION EDUCATIVA JUAN DE AMPUDIA.

SANTIAGO DE CALI, 09 DE SEPTIEMBRE.

FUNCION EXPONENCIAL

MAIRA ALEJANDRA DOMINGUEZ OSSA.

XIOMARA OBREGON REALPE.

HEIDY DAYANA SERRANO QUINTERO.

JUAN SEBASTIAN SALAZAR CORTES.

11 -  3

CALCULO.

EMILSE INSUASTY OSSA.

INSTITUCION EDUCATIVA JUAN DE AMPUDIA.

CONTENIDO

FUNCION EXPONENCIAL:        

DEFINICION:        

GRAFICO DE LA FUNCION EXPONENCIAL F(x)=a^ x, CON a > 1:        

GRÁFICO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y= a^x, con 0 < a < 1:        

GRÁFICO DE LA FUNCIÓN F(x)= a^1, con a= 1:        

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES.        

La función ex :        

ECUACIONES EXPONENCIALES        

FUNCION EXPONENCIAL:

En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

DEFINICION:

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

[pic 1]

[pic 2]

Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

[pic 3]

Función exponencial, según el valor de la base.

GRAFICO DE LA FUNCION EXPONENCIAL F(x)=a^ x, CON a > 1:

F(x)= 2^x.

[pic 4]

• Dom: R.

• Rec: R+.

• F(x): creciente en su recorrido (la curva crece de izquierda a derecha).

• Asintótica al eje X.

• Cóncava hacia arriba.

• El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1).

Comparación entre F(x)= 2^x y F(x)= -2^x.

[pic 5]

• Dom: R.

• Rec: R+.

• F(x): creciente en su recorrido (la curva crece de izquierda a derecha).

• Asintótica al eje X.

• Cóncava hacia arriba.

• El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1).

Comparación entre F(x)= 2^x y F(x) = 3^x.

[pic 6]

GRÁFICO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y= a^x, con 0 < a < 1:

F(x)= (½) ^x.

[pic 7]

• Dom: R.

• Rec: R+.

• F(x): creciente en su recorrido (la curva crece de derecha a izquierda).

• Asintótica al eje X.

• Cóncava hacia arriba.

• El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1).

F(x) = (!) ^x.

[pic 8]

• Dom: R.

• Rec: R+.

• F(x): creciente en su recorrido (la curva crece de derecha a izquierda).

• Asintótica al eje X.

• Cóncava hacia arriba.

• El punto de intersección de la gráfica con el eje Y es el punto (0,1).

Comparación entre F(x)= (½) ^x y F(x) = (!) ^x.

[pic 9]

GRÁFICO DE LA FUNCIÓN F(x)= a^1, con a= 1:

[pic 10]

• Dom: R.

• Rec: [1].

• F(x) constante.

• Recta.

• Asintótica al eje X.

• El punto de intersección con el eje Y es el punto (0,1).

Conclusiones:

Si a > 1:

• La curva asociada a esta función exponencial intersecta al eje y en el punto (0,1).

• La función es creciente para todo valor de X.

• Mientras a es mayor, más se aproxima al eje Y.

• La curva es asintótica al eje X (se acerca indefinidamente a él sin llegar a tocarlo).

Si a < 0:

• La curva asociada a esta función intersecta al eje Y en el punto (0, -1).

• La función es decreciente para todo valor de X.

• Al igual que en el caso anterior la curva es asíntota al eje X.

• La curva se presenta como un reflejo de su inverso aditivo.

Si 0 < a < 1:

• La curva asociada a esta función exponencial intersecta al eje Y en el punto (0,1).

• La función es decreciente para todo valor real de X.

• Mientras “a” se acerca más a 1, la curva se hace más recta alejándose del eje Y.

• La curva es asintótica al eje X.

Si a = 1:

• Se observa que para todo valor real de x se tiene y= 1, de lo cual resulta una recta paralela al eje X, es decir, se trata de una función constante.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES.

Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

• La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:

f (0) = a0 = 1.

• La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:

f (1) = a1 = a.

• La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.

f (x + x?) = ax+x? = ax × ax? = f (x) × f (x?).

• La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:

f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).

La función ex :

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:

...