Funciones Exponenciales

Funciones exponenciales

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.

La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.

El dominio de la función exponencial está formada por el conjunto de los números reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.

1. La función exponencial de base dos: y=f(x)=2x

La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

Para graficar esta función se localizan estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que:

• x crece ilimitadamente

• x decrece ilimitadamente.

2. La función exponencial de base 1/2

Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a + y cuando x tiene a 

y=f(x)=(1/2)x

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f(x) 8 4 2 2 1/2 1/4 1/8

3. La función exponencial para cualquier valor de b

Utiliza la siguiente escena para analizar el comportamiento de otras funciones exponenciales, para diferentes valores de b. Usa las flechas para modificar el valor de la base b. Compara el comportamiento de la función para valores de b>1 y valores de comprendidos entre 0<b<1.

Las escenas anteriores permiten deducir que:

• La función exponencial existe siempre para cualquier valor de la variable independiente x.

• Toma valores positivos para cualquier valor de x.

• El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales.

• Todas las funciones pasan por el punto (0,1).

• Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con b>1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.

• Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma f(x)=bx, con 0<b<1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.

• El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda

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