Geometria. La recta

LA RECTA

La línea recta es la que se extiende en una misma dirección; por lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. En geometría analítica las líneas rectas en un plano pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano, mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

La ecuación general de una recta es una expresión de la forma Ax+By+C=0, donde A, B y C son números reales.

La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez puesta en forma explícita (es decir, despejada y):

By = -Ax-C -> -> la pendiente es: m = -A/B

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

Dos rectas del plano pueden ocupar una de las tres posiciones siguientes:

Secantes: Se cortan en un punto.

Paralelas: No se cortan.

Coincidentes: Tienen infinitos puntos en común, son la misma recta.

Para determinar la posición relativa de dos rectas podemos recurrir a:

1. Resolver el sistema formado por las dos ecuaciones y dependiendo del número de soluciones del sistema tendremos:

1 solución: Las rectas son secantes.

0 soluciones: Las rectas son paralelas.

Infinitas soluciones: Las rectas son coincidentes.

2. Comparar las pendientes y las ordenadas en el origen de cada recta:

Distintas pendientes: Las rectas son secantes.

Igual pendiente y distinta ordenada en el origen: Las rectas son paralelas.

Igual pendiente e igual ordenada en el origen: Las rectas son coincidentes

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

La distancia entre dos rectas se define como la menor distancia que hay entre dos cualesquiera de sus puntos. Su distancia depende, por tanto, de la posición relativa que tengan esas dos rectas. Si las rectas se cortan o son coincidentes su distancia es cero, ya que hay al menos un punto común a las dos rectas y la distancia de un punto a sí mismo es nula.

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

Para determinar la distancia entre dos las rectas paralelas, basta tomar la distancia de un punto cualquiera a quien denominaremos P de una de ellas y hallar la distancia a la otra recta.

EL HAZ DE RECTAS

Llamamos haz de rectas  al conjunto de todas las rectas que pasan por un punto P. El haz de rectas de centro  es :

Los parámetros  y , al darles valores, nos permiten obtener las distintas ecuaciones de las rectas que constituyen el haz, siempre que no sean simultáneamente nulos.

TIPO DE HAZ DE RECTA

Haz de rectas paralelas

Si tenemos una recta dada por su ecuación general, llamaremos haz de rectas paralelas a r al conjunto de todas las rectas que son paralelas a r. La ecuación de este haz es

Haz de rectas secantes

Si tenemos una recta que pasa por el punto  A (xo, yo) y queremos encontrar el conjunto de todas las rectas que pasen por ese punto solamente tendremos que variar la pendiente. Llamamos haz de rectas de vértice A(xo, yo) al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto A. La ecuación de este haz es:

Si lo que queremos es que el punto A(xo, yo) sea

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