Geometría Analítica

GUIA REFERENCIAL

Lic. Alexandra Noguera G.

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GEOMETRIA ANALÍTICA

CICLO BASICO DE INGENIERÍA - GUIA REFERENCIAL

INTRODUCCION

El origen de la Geometría se remonta mucho tiempo atrás cuando egipcios y babilonios comenzaron a medir sus terrenos, diseñar sistemas de irrigación y construir edificios y monumentos. La palabra geometría se deriva de los vocablos griegos geos, que significa tierra y metron que significa medida. Alrededor de 2000 A.C. los planificadores de estos pueblos usaban los principios de la geometría para restablecer los linderos y fronteras perdidos. De hecho los antiguos egipcios, babilonios, chinos, romanos y griegos, aplicaban la geometría en la topografía, navegación, astronomía y otras actividades prácticas.

Los griegos iniciaron la sistematización del conjunto de datos y conocimientos que tenía en esta ciencia relacionándolos por medio de los procedimientos lógicos que establecieron. El trabajo de hombres como Thales (600 A.C.), Pitágoras (540 A.C.), Platón (390 A.C.) y Aristóteles (350 A.C.), para organizar los datos geométricos y sus principios culminaron en un libro llamado Elementos, escrito por Euclides alrededor de 325 A.C. Esta obra se ha usado por más de 200 años y siempre se la ha considerado clásica.

La Geometría es la ciencia que estudia las figuras formadas por líneas. El estudio de la geometría es esencial para la preparación de ingenieros, arquitectos y aún del hombre común. Los carpinteros, maquinistas, hojalateros, cortadores de piedra, artistas y dibujantes también aplican los conceptos de la geometría en sus respectivos trabajos.

La Geometría Analítica es el estudio o tratamiento analítico de la geometría, y por primera vez fue presentado por René Descartes en su libro llamado Géometrie que se publicó en el año de 1637. En esta obra, se establecía la relación explícita entre las curvas y las ecuaciones y podemos decir, que además de Descartes, todos los matemáticos de los siglos XVII y XVIII, contribuyeron de una forma o de otra, al desarrollo de esta nueva teoría, que en la actualidad se estudia con el nombre de Geometría Analítica, y que se fundamenta en el uso de Sistemas de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas en honor de su fundador.

La Geometría Analítica es una parte de las matemáticas que, entre otras cosas, se ocupa de resolver algebraicamente los problemas de la geometría. En esta materia se puede conocer una ecuación y poder deducir su gráfica, o también conocer la gráfica de una curva y determinar su ecuación. A estos dos problemas se les conoce como los Problemas Fundamentales de la Geometría Analítica.

En el desarrollo de esta asignatura, el estudiante aprenderá un gran número de conceptos básicos referentes a figuras geométricas, rectas, ángulos, triángulos, círculos y algunas otras figuras bidimensionales. También se aprenderá un buen número de juicios críticos y razonamientos lógicos. A partir de la ejercitación y práctica estará capacitado para medir la validez de las proposiciones e ideas que en este material se dan. El estudiante aprenderá a analizar los problemas en función de los datos dados, así como leyes y principios que se aceptan como válidos, y por medio de un razonamiento lógico, llegará a la solución del problema de que se trate.

El método didáctico empleado en el material referencial consta de: orientación, motivación, ejemplos y ejercicios propuestos, complementándolo con la exposición didáctica del profesor. Sin embargo, se requiere del compromiso individual de cada estudiante en su propio aprendizaje, a través de las siguientes estrategias: lectura secuencial del módulo referencial antes de las sesiones de clase, discusión de temas en las sesiones de clases, resolución constante y continua de los ejercicios propuestos. Todo esto garantizará el éxito del estudiante en la asignatura.

Bienvenidos y éxitos en tu desempeño!!

UNIDAD I.- SEGMENTOS

Objetivo de Aprendizaje: Identificar las características de un segmento en el plano cartesiano.

1.- Segmento rectilíneo dirigido.- La porción de una línea recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. Así en la figura 1, para la recta l, AB es un segmento cuyos extremos son A y B. La longitud del segmento AB se representa por .

Para los fines de la geometría analítica añadiremos, al concepto geométrico de segmento, la idea de sentido o dirección. Desde este punto de vista consideramos que el segmento AB es generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta l de A hacia B. Decimos entonces que el segmento AB esta dirigido desde A a B, e indicamos esto por medio de una flecha, tal y como lo muestra la figura anterior. En este caso, el punto A se llama origen o punto inicial y el punto B extremo o punto final.

Podemos también obtener el mismo segmento dirigiéndolo de B a A, entonces B sería el origen y A el extremo y el segmento se denotaría BA. El sentido de un segmento dirigido se indica escribiendo primero el origen.

Desde el punto de vista de la geometría elemental, las longitudes de los segmentos AB y BA, son las mismas. En geometría analítica, sin embargo, se hace una distinción entre los signos de estas longitudes. Así, especificamos, arbitrariamente, que un segmento dirigido en un sentido está considerado de longitud positiva, mientras que otro, dirigido en sentido opuesto, será considerado como un segmento de longitud negativa. De acuerdo con esto, si especificamos que el segmento dirigido AB tiene una longitud negativa, entonces el segmento dirigido BA tiene una longitud negativa, y escribimos:

=- (1)

Ejercicio 1:

Consideremos ahora tres puntos distintos A, B y C sobre una línea recta cuya dirección positiva es de izquierda a derecha.

Fig. 2

Se muestran seis ordenaciones posibles de estos puntos. Considerando solamente segmentos dirigidos de longitudes positivas, tenemos las seis relaciones siguientes correspondientes a estas ordenaciones:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Todas estas relaciones están incluidas en la relación fundamental:

(2)

Ejercicio 2:

Si A, B, C y D son cuatro puntos distintos cualquiera de una recta dirigida, demostrar que, para todas las

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