GEOMETRIA ANALITICA
Enviado por LORDPAVIUZ • 16 de Septiembre de 2012 • 4.784 Palabras (20 Páginas) • 827 Visitas
LA PARABOLA
DEFINICIÓN. Una parábola es el conjunto P de todos los puntos en el plano R2 que equidistan de una recta fija DD’, llamada directriz, y de un punto fijo F, denominado foco, que no pertenece a la recta. En síntesis:
P= {P E R2 / d(P,F)=d(P, DD’)}
Según esta definición, y refiriéndonos a la grafica de la figura 7.1, se tiene:
P E P PF =d(P, l)
A E P AF =d(A, l)
B E P BF =d(B, l)
V E P VF =d(V, l)
FIGURA 1
ELMENTOS DE LA PARÁBOLA
1. Vértice (V). Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría.
2. Foco (F). Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a p unidades del vértice.
3. Eje de simetría (l1). Recta perpendicular a la directriz l y que pasa por el vértice y foco.
4. Cuerda (CE). Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola.
5. Directriz (l). Recta fija, perpendicular al eje de simetria l1.
6. Cuerda Focal (AB). Segmento de recta que une dos puntos de la parábola pasando por el foco.
7. Lado Recto (LR). Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría.
8. Radio Vector (PF). Segmento de recta que une el foco con un punto de la parábola.
FORMAS CARTESIANAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA DE UNA PARÁBOLA
PRIMERA FORMA Parábola con vértice V(0,0) y de eje coincidente con el eje x
Sea p la distancia dirigida desde el vértice hasta la directriz o al foco, esto es
p = QV = VF
Entonces, las coordenadas de Q y F son:
Q(-p,0) y F(p,0)
Como la directriz es una recta vertical que pasa por Q, su ecuación será:
x=-p l: x+p=0
Deducción de la ecuación:
1. Sea P(x,y) el punto genérico de la parábola
2. Por definición, si P E P PF =d(P, l)
= x+ p
3. Elevando ambos miembros al cuadrado se tiene:
(x – p)2 + y2 =(x + p)2
De donde: y2=4px (1)
Discusión de la ecuación.
Obtenemos: y= + 2 px y es real px > 0
Esto significa que p y x tienen el mismo signo, por lo que debemos considerar dos casos:
a) Si p > 0, el foco estará en la parte positiva del eje X y la concavidad de la gráfica es hacia la derecha (Figura 7.2), esto es, Dom(P) = [0, + >
b) Si p < 0, el foco estará en la parte negativa del eje X y la concavidad de la grafica está hacia la izquierda, esto es, Dom(P) = <- , 0]
SEGUNDA FORMA Parábola con vértice V(0,0) y de eje coincidente con el eje Y
Sea p la distancia dirigida desde el vértice hasta la directriz o al foco, esto es
p = QV = VF
Entonces, las coordenadas de Q y F son:
Q(0 , -p) y F(0 , p)
Como la directriz es una recta vertical que pasa por Q, su ecuación será:
y=-p l: y+p=0
Deducción de la ecuación:
1. Sea P(x,y) el punto genérico de la parábola
2. Por definición, si P E P PF =d(P, l)
= y+ p
3. Elevando ambos miembros al cuadrado se tiene:
x2 + (y – p)2 =(y + p)2
De donde: x2=4py (2)
Discusión de la ecuación.
Obtenemos: x= + 2 py x es real py > 0
Esto significa que p y x tienen el mismo signo, por lo que debemos considerar dos casos:
a) Si p > 0, el foco estará en la parte positiva del eje Y y la concavidad de la gráfica es hacia arriba (Figura 7.3), esto es, Ran(P) = [0, + >
b) Si p < 0, el foco estará en la parte negativa del eje Y y la concavidad de la grafica está hacia abajo, esto es, Ran(P) = <- , 0]
Nota. Las ecuaciones (1) y (2), por ser las más simples, reciben el nombre de formas canónicas de la ecuación de una parábola.
TERCERA FORMA Parábola con vértice V(h,k) y de eje paralelo al eje X
Cuya ecuación es:
(y – k)2 = 4p(x – h) (3)
Además de la ecuación, es de interés conocer los elementos de la parábola.
1. Vértice: V(h, k)
2. Foco: F(h+p, k)
3. Lado Recto: LR= 4p
4. Ecuación de la directriz, l: x= h – p
5. Ecuación del eje, l1: y =k
6. Coordenadas de los extremos del lado recto:
L(h + p, k + 2p ) , R(h + p, k - 2p )
7. Longitude del radio vector:
r= x1 – h + p
CUARTA FORMA Parábola con vértice V(h,k) y de eje paralelo al eje Y
Cuya ecuación es:
(x – h)2 = 4p(y – k) (4)
Además de la ecuación, es de interés conocer los elementos de la parábola.
8. Vértice: V(h, k)
9. Foco: F(h, k + p)
10. Lado Recto: LR= 4p
11. Ecuación de la directriz, l: y= k – p
12. Ecuación del eje, l1: x = h
13. Coordenadas de los extremos del lado recto:
L(h + 2p , k + p) , R(h - 2p , k + p) Longitude del radio vector:
r= y1 – k + p
Nota. Las ecuaciones (3) y (4), reciben el nombre de formas ordinarias de la ecuación de una parábola.
ECUACION GENERAL DE LA PARÁBOLA
De las ecuaciones:
(y – k)2 = 4p(x – h) (3) de eje horizontal.
(x – h)2 = 4p(y – k) (4) de eje vertical.
Obtenemos:
y2 – 4px – 2ky + (k2 + 4ph) =0
x2 – 2hx – 4py + (h2 + 4pk) =0
Reduciendo a la forma cuadrática:
y2 + Dx + Ey + F =0 ; D = 0 (5)
x2 + Dx + Ey + F =0 ; E = 0 (6)
Nota. Las ecuaciones (5) y (6), se denominan ecuaciones generales de la parábola.
ECUACION DE LA TANGENTE A UNA PARABOLA
Ecuación de la tangente en un punto de contacto dado P(x1, y1)
Parábola
P: y2=4px
P: x2=4py
P: (y – k)2 = 4p(x – h)
P: (x – h)2 = 4p(y – k)
Ecuación de la Tangente
l: y1y = 2p (x + x1) (7)
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