HIPERPARBOLA, PARABOLA Y ELIPSE

HIPERPARBOLA, PARABOLA Y ELIPSE

Los matemáticos han resuelto el problema usando la rotación y traslación de ejes y han logrado llegar a una expresión que nos permite saber qué tipo de expresión gráfica corresponderá a cualquier ecuación de segundo grado. Esta expresión se conoce como el discriminante, y se define matemáticamente como:

Discriminante = B2-4AC

El discriminante o invariante de una ecuación de segundo grado se define como:

I = B2 – 4AC

Donde:

I = Discriminante o Invariante de la ecuación de segundo grado.

A = Coeficiente del término x2 de la ecuación de segundo grado.

B = Coeficiente del término xy de la ecuación de segundo grado.

C = Coeficiente del término y2 de la ecuación de segundo grado.

Se puede demostrar que el discriminante puede tener tres posibles valores o intervalos de valores y dependiendo de ese valor será el tipo de cónica (Parábola, elipse o hipérbola):

Si uno de lo dos coeficientes A' o C' es igual a cero, la ecuación representa una cónica del género parábola.

Si A' o C son del mismo signo, se dice que la ecuación representa una cónica del género elipse.

Si A' y C' son de signo contrario, se dice que la ecuación representa una cónica del género hiperparabola.

Si I = B2 - 4AC

Cónica

a) Discriminante I < 0

Elipse

b) Discriminante I = 0

Parábola

c) Discriminante I > 0

Hipérbola

Ahora bien, una circunferencia se puede considerar como un caso especial de una elipse y entonces en ese caso podemos distinguir una elipse de una circunferencia de la siguiente manera.

Si I = B2 - 4AC

Cónica

Discriminante I < 0 y, A ≠ C

Elipse

Discriminante I < 0 y, A = C

Circunferencia.

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