Elipse

ELIPSE

Una elipse es el conjunto de todos los puntos en el plano, la suma de cuyas distancias a dos puntos fijos (los focos) es una constante positiva.

Los elementos que definen a la elipse son los siguientes:

• Los Focos: Son los puntos fijos representados como F y F’, su distancia se denomina como 2c.

• Eje Focal: Es la recta que se forma entre los Focos, la distancia de ella se denomina como 2c.

• Vértices: Los puntos correspondientes V(a, 0) y V’(-a, 0).

• Centro de la Elipse: Es el punto donde se intersectan el eje mayor y el eje menor de la elipse.

• Eje Mayor de la Elipse: Es el eje que se forma de la recta VV’, es decir, de los vértices.

• Puntos B y B’: Son los extremos del eje menor.

• Eje Menor: Es el segmento que se forma entre B’ (0, -b) y B(0, b).

• Excentricidad: La excentricidad de una elipse es representada con la letra e y es igual a la distancia del centro al foco sobre la distancia del centro al vértice.

Ecuación de la Elipse

Para obtener una ecuación simple de una elipse, elegimos el eje x como la recta que pasa por los dos focos F y F’, con el centro de la elipse en el origen. Si F tiene las coordenadas (c, 0), con c > 0, entonces, F’ tiene las coordenadas (-c, 0). Por tanto, la distancia entre F y F’ es 2c. La suma constante de las distancias de P desde F y F’ se denotará por 2a. Para obtener puntos que no están en el eje x, debemos tener 2a > 2c; es decir, a > c. Por definición, P(x, y) está en la elipse si y sólo si las siguientes ecuaciones equivalentes son verdaderas:

d(P, F)+ d(P, F’)= 2a

√(x – c)2 + (y – 0 + √(x + c)2+ (y – 0)2= 2ª

√(x + c)2= 2a - √(x + c)2 + y2

Al elevar al cuadrado ambos lados de la última ecuación, obtenemos

x2 – 2cx + c2 + y2= 4a2 – 4a √(x + c) + y2 + x2 + 2cx + c2 + y2

o bien a√(x + c)2 + y2= a2 + cx

Al elevar nuevamente al cuadrado ambos lados, obtenemos

a2 (x2 + 2cx + c2 + y2)= a4 + 2a2cx + c2x2

o bien x2 (a2 – c2) + a2y2= a2(a2 + c2)

Al dividir ambos lados entre a2(a2 – c2), obtenemos

X2/a2 + y2/ a2 – c2= 1

Al recordar que a > c y, por consiguiente, a2 – c2 > 0, obtenemos

b= √a2 – c2, o b2=a2 – c2

Esta situación conduce a la siguiente ecuación

x2/a2 + y2/b2= 1

Como c > 0 y b2 = a2 – c2, se concluye que a2 > b2 y entonces a > b.

Las coordenadas de todo punto (x, y) en la elipse satisface la ecuación (x2/a2) + (y2/b2)= 1.

Método del Jardinero

Esta construcción se basa en una técnica sintética mediante la cual se toma un hilo de longitud 2a que queda fijado por sus extremos en ambos focos.

Manteniendo el hilo tenso, se dibujará la elipse, ya que todo punto P de la figura verifica

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