ELIPSE.

INDICE GENERAL

INDICE DE FIGURAS

Ilustración 1………………………………………………………………………………………………………………………………. 4

Ilustración 2………………………………………………………………………………………………………………………………. 5

Ilustración 3………………………………………………………………………………………………………………………………. 6

Ilustración 4………………………………………………………………………………………………………………………………. 7

Ilustración 5 …..……………………………………………………………………………………..…………………………………..9

Ilustración 6…….…………………………………………………………………………………….…………………………………..10

Ilustración 7…….…………………………………………………………………………………………………………….…………..10

RESUMEN

La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

INTRODUCCION

1.- La elipse como lugar geométrico. Definición y elementos.

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos

F y F' (fig. 1) es una cantidad constante, que se representa por 2a. Así, para cualquier punto M de la

curva, se tiene MF + MF' = 2a.

Los puntos fijos F y F' se llaman focos y la longitud FF' distancia focal que se designa por 2c.

El punto medio de FF' es el centro de 1a elipse.

Para que haya elipse es necesario que 2c < 2a o sea c < a (pues en el triángulo MFF' un lado FF' = 2c, es

menor que la suma de los otro dos MF' + MF = 2a).

Los segmentos MF y MF' que unen un punto cualquiera de la elipse con los focos se llaman radios vectores.

OBJETIVO

Aprender que es y para que sirve la elipse dentro de la geometría analítica.

DESARROLLO TEORICO

1.- La elipse como lugar geométrico. Definición y elementos.

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F' (fig. 1) es una cantidad constante, que se representa por 2a. Así, para cualquier punto M de la curva, se tiene MF + MF' = 2a.

Los puntos fijos F y F' se llaman focos y la longitud FF' distancia focal que se designa por 2c. El punto medio de FF' es el centro de 1a elipse.

Para que haya elipse es necesario que 2c < 2a o sea c < a (pues en el triángulo MFF' un lado FF' = 2c, es menor que la suma de los otro dos MF' + MF = 2a).

Los segmentos MF y MF' que unen un punto cualquiera de la elipse con los focos se llaman radios vectores.

Un segmento CC' que une dos puntos cualesquiera de la elipse es una cuerda.

Una cuerda que pasa por el centro, tal como DD', es un diámetro.

El diámetro que pasa por los focos se llama eje mayor o eje focal y el perpendicular a el es el eje menor, o normal, que se designa por 2b. En la figura, AA' es el eje mayor y BB' el menor.

Las intersecciones A , A', B y B' de los ejes con la curva son los vértices de la elipse.

Las cuerdas EE´ y GG´ que pasan por los focos y son perpendiculares al eje mayor son los lados rectos de la elipse.

Excentricidad de una elipse es la razón de la semi distancia focal al semieje (c/a) y se representa por e.

2.- Construcción de una elipse.

1. Dados los focos F y F´ y la cantidad constante 2ª. (fig. 2).

1. Se señala el centro C (punto medio de FF´) y se traza por él la perpendicular BB´ a FF´.

2. A partir del centro se señalan los vértices A y A´ que distan a del centro.

3. Con centro F o F´ y radio a se señalan los vértices B y B´.

4. Se toma un punto cualquiera M del segmento FF´ (puesto que la diferencia MA´- MA debe ser menor que FF´) y con el centro en los focos y radios MA y MA´ se trazan dos arcos que se cortaran en puntos de la elipse. Para diferentes posiciones del punto M se obtendrán nuevos puntos, y uniéndolos por medio de un trazo continuo se obtiene la curva.

2. Dadas las longitudes 2a r 2b de los ejes.

Se trazan las circunferencias que tienen como diámetros los dos ejes de la elipse (fig. 3). Sea OD un radio cualquiera de la circunferencia de radio a y C el punto donde corta a la circunferencia de radio b.

Tracemos por D la perpendicular a OA y por C la paralela a OA. El punta P en que se cortan pertenece a la elipse.

Repitiendo 1a construcción para diferentes posiciones de OD y uniendo los puntos obtenidos por un trazo continuo se tiene la elipse.

Nota: una vez estudiada la ecuación de la elipse se puede demostrar que los puntos P, así obtenidos son de

la elipse.

En efecto: sean (x , y) las coordenadas del punto P referidas a los ejes de la elipse como ejes coordenados.

Los triángulos OED y CPD son semejantes y por tanto:

ED OD a

EP OC b ED EP* a (y * a)2 (1)

b b

Como el punto D pertenece a la circunferencia de radio a sus coordenadas satisfacen la ecuación de dicha circunferencia, y se tiene:

x2 + ED2 = a2

y sustituyendo a ED por su valor (1) se obtiene:

x2 + y2 * a2 / b2 = a2 x2/a2 + y2/b2 = 1

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