La Elipse

LA ELIPSE.

Definición: Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición excluye el caso en que el punto móvil esté sobre el segmento que une los focos.

Designemos por F y F´ (fig. 1) los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar esta recta. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, v y v´, llamados vértices

La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento vv´ , se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta l´ que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el término eje normal para designarla. El eje normal l´ corta a la elipse en dos puntos, A y A´ , y el segmento AA´ se llama eje menor. Un segmento tal como BB´ que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal como EE´, se llama cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL´ perpendicular al eje focal l se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD´, se llama diámetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F´P que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores.

Ecuación de la Elipse de centro el origen y ejes de coordenadas los ejes de la Elipse.

Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (fig. 2). Los focos F y F´ están sobre el eje X. Como el centro O es el punto medio del segmento FF´ las coordenadas de F y F´ serán, por ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica

(1)

En donde a es una constante positiva y mayor que c.

Por el teorema de la distancia d entre dos puntos, tenemos

=

,

=

, de manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por la ecuación

+

= 2a (2).

Para simplificar la ecuación (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da

cx+a2 = a

Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos

de donde,

(3)

Como 2a >2c es a2>c2 y

-c2 es un número positivo que puede ser reemplazado por el número positivo b2, es decir,

b2=

- c2 (4)

Si en (3) reemplazamos

- c2 por b2 obtenemos,

b2x2+a2y2= a2b2

y dividimos por a2b2 , se obtiene, finalmente,

(5)

Ahora discutiremos la ecuación (5). Por ser a y -a las intercepciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V y V´ son (a, 0) y (-a, 0) respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en la definición de la elipse. Las intercepciones con el eje Y son b y - b por tanto, las coordenadas de los extremos A y A´ del eje menor son (0, b) y (0, - b) respectivamente la longitud del eje menor es igual a 2b.

Por la ecuación (5) vemos que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.

Si de la ecuación (5) despejamos y, obtenemos

(7)

Luego, se obtienen valores reales de y solamente para valores de x del intervalo

(8)

Si de la ecuación (5) despejamos x, obtenemos ,

De manera que se obtienen valores reales de x solamente para valores de y dentro del intervalo

(9).

De (8) y (9) se deduce que la elipse está limitada por el rectángulo cuyos lados son las rectas

y

. Por tanto la elipse es una curva cerrada.

La abscisa del foco F es c (figura 2). Si en (7) sustituimos x por este valor se obtiene las ordenadas correspondientes que son

de donde por (4) resulta

Por tanto la longitud del lado recto para el foco F

, y de forma análoga la longitud del lado recto para el foco F´ es

.

Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón

y se representa por la letra e , de (4) tenemos que

(10).

Y como c<a, la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.

Hasta aquí hemos considerado el caso en que el centro de la elipse es el origen y su eje focal coincide con el eje X. Si consideramos el caso en que el centro de la elipse es el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y, las coordenadas de los focos son entonces F(0,c) y F´(0,-c). Luego por el mismo procedimiento empleado para deducir la ecuación (5) hallamos que la ecuación de la elipse es

(11)

Veamos la siguiente que resume los resultados obtenidos hasta este momento.

Además podemos resumir todos estos resultados en el siguiente

TEOREMA1.

La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es

Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean F (0,c) y F´(0,-c) la ecuación de la elipse es

Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor y a, b, c están ligados por la relación a2= b2+c2.

También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es

, y la excentricidad e está dada por la fórmula e

NOTA: Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica, podemos determinar fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando los denominadores de los términos x2 y y2. El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse.

Veamos algunos ejemplos.

1. Encuentre los vértices y los focos para la elipse 9x2+4y2=36 y trazar su gráfica.

Solución

Debemos proceder de la siguiente forma:

Dividir toda la ecuación por 36

Lo que resulta,

que tiene la forma

Donde el eje mayor es el eje vertical.

Donde b2=4 o bien b=2 y a2=9 o bien a=3.

De esta forma obtenemos los vértices que son V(0,3) y V´(0,-3)

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