Elipse

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

SEMESTRE Y GRUPO:

1ER. SEMESTRE “E”

“GEOMETRÍA ANALÍTICA.”

TRABAJO: ELIPSE

INTEGRANTES:

• Añino Escobar Rogelio.

• Balbuena Balbuena Oscar Manuel.

• Cortez Guillen Alan.

• Esquinca Ortiz Carlos.

• Gómez Zavala Carlos Alberto.

• López Rodríguez Marco Alberto.

• Luna Ramírez Jhonny de Jesús.

• Morales Aguilar Jorge Alejandro.

• Nájera Jiménez Estrellita Lizbeth.

• Ramírez Arguello Andrea Carolina.

• Ramírez Ocho Humberto.

• Trejo Posada Noé.

• Solórzano Mendoza María Guadalupe.

• Zavala Luna Christian Rafael.

DOCENTE: ING. ALEXANDER MORALES TORRES

TUXTLA GUTIÉRREZ, CHIAPAS A 02 DE OCTUBRE DE 2014.

CONCEPTO DE LA FUNCION.

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

En sí, la elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:

“El lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.”

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

• el semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro,F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d (P,F1)+d(P,F2)=2a).

Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.

Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

donde es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse.

El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.

Excentricidad de una elipse.

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con

Dado que , también vale la relación:

O el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz. La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada con la herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

“Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo, que se denomina foco y a una recta dada, llamada directriz; permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.”

Además de la bien conocida relación , también es cierto que , también es útil la fórmula .

Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuya distancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior.

ECUACIONES DE LA ELIPSE

En coordenadas cartesianas

x2 + xy + y2 = 1

• Forma cartesiana centrada en el origen.

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

Donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es

...