La Elipse

En coordenadas cartesianas[editar] Forma cartesiana centrada en origenLa ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

[editar] Forma cartesiana centrada fuera del origenSi el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

[editar] En coordenadas polares[editar] Forma polar centrada en origenEn coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:

(epc 1)

Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad ), es:

(epc 2)

Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc 2) ε es la excentricidad.

Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario utilizar la ecuación (epc 2).

[editar] Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación de la elipse es:

(501)

Para el otro foco:

(502)

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.En el caso un poco más general de una elipse con un foco en el origen y el otro foco en la coordenada angular , la forma polar es:

(503) }

El ángulo de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador de las mismas es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado . El semi-latus rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa por el foco.

[editar] Formas paramétricasLa ecuación paramétrica de una elipse con centro en y siendo el semieje mayor y el menor, es:

con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse, sino la anomalía excéntrica de la elipse. La relación entre y θ es

.

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en en la que el parámetro sea concordante con el ángulo polar respecto al centro desplazado es:

con . El parámetro es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en .

[editar] Área interior de una elipseEl área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.[4]

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