Ecuación Grafica de la Parábola, la Hipérbola y del Elipse.

UNIVERSIDAD TECNICA DE BABAHOYO

Facultad de Administración Finanzas e Informática

(F.A.F.I)

Asignatura:

Matemática Básica

Ing. Felicito Flores

TEMA:

Ecuación Grafica de la Parábola, la Hipérbola y del Elipse.

Integrantes Grupo #1

Estefanía Mora Cadena

Haydee Paredes Maldonado

Gisella Zambrano Jiménez

Karen Roby Sobenis

Cinthya Yánez Triana

Carrera ῀ Año

Ingeniería en Sistemas ῀ Primero

Periodo:

Enero – Junio 2014

Ecuación Grafica de la Parábola, Hipérbola y la Elipse.

Una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. En matemáticas, una parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz.

El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Nota 1 nota 2 Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, nota 3 y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

Propiedades geométricas

Diferentes elementos de una parábola.

Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz (verde), y las líneas que unen el foco y la directriz de la parábola (azul)

Aunque la identificación de parábola con la intersección entre un cono recto y un plano que forme un ángulo con el eje de revolución del cono igual al que presenta su generatriz, es exacta, es común definirla también como un lugar geométrico:

Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto exterior a ella, llamado foco.

De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea necesario.

De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

Los puntos de la parábola están a la misma distancia del foco F y de la recta directriz.

Construcción de puntos en una parábola

Lado recto

El lado recto mide 4 veces la distancia focal

Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.

La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por W la proyección del foco F sobre la directriz, se observa que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV. Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal).

Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT sean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior. Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyección W del foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz cuando éstos son desconocidos.

Ejercicio:

Construir la parábola con Vértice (3,2) y Foco (3,4). Halla su ecuación estándar y su ecuación general.

Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

ECUACIÓN GRÁFICA DE LA HIPÉRBOLA

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Ejercicio:

9x2 – 16y2 - 108x +128y +212 = 0

9x2 – 108x – 16y2 + 128y = - 212

(9x2 – 108x) – (16y2 - 128y) = - 212

9(x2 – 12x)

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