Impulso y cantidad de movimiento para una partícula.

4.1 Impulso y cantidad de movimiento para una partícula

Consideremos de nuevo el movimiento curvilíneo general en el espacio de un punto material de masa (fig. 3.9), cuyo vector de posición es r con relación a un origen fijo O. La velocidad de esa partícula es v=r y es tangente a su trayectoria (que se representa en trazo discontinuo). La resultante F de todas las fuerzas actuantes sobre m tiene la misma dirección y sentido que su aceleración.

La ecuación fundamental del movimiento para esta partícula podemos escribirla en la forma

F=mv=d/dt (mv) o sea F=G

Donde, por definición, el producto de la masa por la velocidad es la cantidad de movimiento G= mv de la masa puntual o partícula. Según la ecuación la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un punto material es igual a la variación por unidad de tiempo de la cantidad de movimiento. La unidad SI de cantidad de movimiento será kg▪m/ s o, lo que es lo mismo, N▪s.

Como la ecuación vectorial, debemos tener presente que, además de ser iguales los módulos de F y G, la dirección y sentido de la fuerza resultante deben coincidir con la dirección y sentido de la derivada temporal de la cantidad de movimiento, que tiene la misma dirección y sentido que la derivada temporal de la velocidad. La ecuación es una de las relaciones más útiles e importantes de la Dinámica y conserva su validez en tanto no varíe con el tiempo la masa m de la partícula. En el apartado se trata del caso en que m varía con el tiempo. De momento, las tres componentes escalares de la ecuación podemos escribirlas en la forma las cuales pueden aplicarse independientemente unas de otras.

F_x=G_x F_y=G_y F_z=G_z

Hasta aquí, en este apartado no hemos hecho otra cosa que escribir de otra manera la segunda ley de Newton e introducir en ella la cantidad de movimiento. No obstante, ahora podemos describir el efecto de la fuerza resultante F sobre el movimiento del punto material a través de un intervalo de tiempo finito sin más que integrar la ecuación F=G respecto al tiempo Al multiplicar la ecuación por dt resulta F dt = dG, e integrando ésta entre los instantes t1 y t2 obtenemos:

∫_(t_1)^(t_2)▒〖"" F dt=G_2-G_1=∆G〗

Donde G2=mv2 es la cantidad de movimiento en el instante t2 y G1-mv1 es la cantidad de movimiento en el instante t1. El producto de la fuerza por el tiempo se llama impulso de la fuerza, y la ecuación dice que el impulso total de la fuerza que se ejerce sobre m es igual a la correspondiente variación de la cantidad de movimiento. Esta relación suele conocerse como teorema de la cantidad de movimiento.

La ecuación podríamos escribirla también como

G_1+∫_(t_1)^(t_2)▒〖"" F dt=G_2 〗

Como se establece que la cantidad de movimiento inicial del punto material más el impulso que recibe es igual a su cantidad de movimiento final.

La integral del impulso es un vector que, en el caso general, puede variar tanto en módulo como en dirección durante el intervalo de tiempo. En tales condiciones, será necesario expresar F y G en forma de componentes y luego combinar las componentes integradas. Entonces, la ecuación descompuesta en sus componentes escalares se convierte en

∫_(t_1)^(t_2)▒〖"" F_x dt=〖(mv_x)〗_2-〖(mv_x)〗_1 〗

∫_(t_1)^(t_2)▒〖"" F_y dt=〖(mv_y)〗_2-〖(mv_y)〗_1 〗

∫_(t_1)^(t_2)▒〖"" F_z dt=〖(mv_z)〗_2-〖(mv_z)〗_1

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