Interpretación geométrica de la derivada de una función

INTRODUCCIÓN

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.  Dicho de otra manera el valor de la derivada de una función en un punto coincide con el de la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Una de las mayores dificultades que tiene el alumnado que comienzan a estudiar la derivada de una función es la comprensión de su significado geométrico. Mientras que el cálculo de derivadas les suele resultar sencillo e incluso atractivo, la aplicación de la interpretación geométrica de la derivada en un punto se convierte en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que en muchos casos no han conseguido adquirir el concepto con claridad.

Las acciones que se proyectan en esta unidad persiguen que el alumnado se familiarice con los conceptos de secante y tangente a una curva, observe cómo se produce la aproximación y entienda el límite como un proceso que se puede ver y comprobar.

Obsérvese la gráfica de la función [pic 1] en la figura 1. Se desea definir la recta tangente en el punto P. Si Q es un punto diferente sobre la curva, la línea PQ es una línea secante. Ver figura 2. Si Q se mueve a lo largo de la curva y se acerca a P por la derecha, ver figura 3; [pic 2]etcétera, son línea secantes características. Algo similar ocurre si Q se mueve a lo largo de la curva y se acerca a P por la izquierda. En ambos casos, las líneas secantes se acercan a la misma posición límite. Esta posición límite común de las líneas secantes se define como la recta tangente a la curva en P. Esta definición parece razonable, y se aplica a curvas en general y no sólo a círculos.

        [pic 3][pic 4][pic 5]

                           y[pic 6]

[pic 7]

                                           P                                   Recta tangente

                                                       •

                x[pic 8]

Figura 1. Recta tangente a la gráfica de [pic 9] en [pic 10].

                                                                                                    Recta secante

[pic 11]

                                      y                                    [pic 12][pic 13]

                                                                              Q            

                                                        P[pic 14]

                                                                                     x

Figura 2. La recta secante que pasa por el punto [pic 15] y por el punto [pic 16].

Si [pic 17]es el punto de tangencia y [pic 18]es un segundo punto de la gráfica de [pic 19], la pendiente de la recta secante que pasa por estos puntos está dada por

[pic 20]

A medida que el punto [pic 21] se mueve hacia el punto [pic 22], la pendiente de la recta secante se aproxima a la de la recta tangente, como se ilustra en la figura 3. Cuando existe tal “posición límite”, se dice que la pendiente de la recta es el límite de la pendiente de la recta secante.        [pic 23]

                             y                         Rectas secantes[pic 24][pic 25]

           Q •  [pic 26][pic 27]

        Recta tangente[pic 28][pic 29]

        [pic 30][pic 31]

                                                         •        

                                 [pic 32]

                x

Figura 3. Cuando [pic 33] tiende a [pic 34], las rectas secantes se van aproximando a la recta tangente.

Luego, el cálculo de la ecuación de la recta tangente es lo más sencillo; solo basta hacer uso de la fórmula

[pic 35]y del punto [pic 36].

Una curva no tiene necesariamente una recta tangente en cada uno de sus puntos. Por ejemplo, la curva de [pic 37] no tiene una tangente en [pic 38]. Como se puede ver en la figura 4, una recta secante que pasa por [pic 39] y un punto cercano a su derecha en la curva, siempre será la recta [pic 40]. Así, la posición límite de tales rectas secantes es también la recta [pic 41]. Sin embargo, una recta secante que pasa por [pic 42] y un punto cercano a su izquierda sobre la curva, siempre será la recta [pic 43]. Entonces, la posición límite de tales rectas secantes es también la recta [pic 44]. Como no existe una posición límite común, no hay una recta tangente en [pic 45]. Ahora que se tiene una definición conveniente de la tangente a una curva en un punto, puede definirse la pendiente de una curva en un punto.

[pic 46]Figura 4. Función valor absoluto de [pic 47].

Ejemplo 1. La pendiente de la gráfica de una función lineal.

Encontrar la pendiente de la grafica de [pic 48], en el punto [pic 49].

Solución. Para encontrar la pendiente de la gráfica de [pic 50] cuando x = 2, aplicar la definición de la pendiente de una recta tangente como se muestra a continuación.

[pic 51]

La pendiente de f en [pic 52] =[pic 53] es [pic 54]

Ejemplo 2. La pendiente de la gráfica de una función no lineal, en el punto dado.

Encontrar la pendiente de la grafica de [pic 55], en el punto [pic 56].

Solución.

Para encontrar la pendiente de la gráfica de [pic 57] cuando x = 1, aplicar la definición de la pendiente de una recta tangente como se muestra a continuación.

[pic 58]

O sea, que la pendiente en cualquier punto [pic 59] de la gráfica de [pic 60]es [pic 61]. En el punto [pic 62], la pendiente es [pic 63]