La interpretación geométrica de la derivada de una función

2.6

LA DERIVADA

De acuerdo con los resultados que obtuviste en los problemas anteriores: Si entonces en cualquier punto fijo la formula que calcula la pendiente de la recta tangente es: mtg=2x0 y si entonces .

La formula que calcula la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto fijo , mtg se llama la derivada de la función y se denota como por ejemplo:

Si entonces

Si entonces

Además como x0 es cualquier abscisa, es decir, puede tomar cualquier valor permitido, le llamaremos de aquí en adelante simplemente x. De lo anterior haciendo x=x0, tenemos que:

Si entonces

Si entonces

Es importante que la derivada de una función presenta una dualidad: cuando hablamos de la formula que calcula la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la curva es una función (una formula) y cuando se determina el valor de la pendiente de la recta tangente en un punto dado es un numero.

Utilizando f’(x), escribirás la derivada de una función de aquí en adelante.

La interpretación geométrica de la derivada de una función

La derivada de una función se representa geométricamente (como lo hicimos a lo largo de esta unidad) de la siguiente manera:

Sea la recta secante PQ que pasa por el punto fijo el punto móvil , (véase la figura2.29).

Como ya lo observaste a lo largo de esta unidad, si el punto móvil Q se acerca sobre la curva cada vez mas al punto fijo P, la recta secante se parece cada vez más a la recta tangente en P. Cuando esto sucede, el valor de h se acerca cada vez más a cero ( . Entonces la derivada de la función (mtg) es el valor que se aproxima a ms cuando el valor de h se acerca a cero. Este valor se denomina límite de ms cuando h tiende a cero y se escribe de la siguiente manera:

Pero como entonces la derivada es:

Actividades de aprendizaje

Para mejorar la idea que has trabajado a lo largo de este texto acerca de una recta tangente, considera lo realizado hasta aquí y con tu equipo intenten definir que es una recta tangente.

Primeras seis formulas para obtener la derivada de una función

En los problemas siguientes se hará una revisión de los resultados de la formula para calcular la pendiente de la recta tangente (derivada de la función) que se obtuvieron en los problemas anteriores con el Método de Fermat. El propósito es poder hallar algunas reglas que no permitan determinar la derivada de una función de manera más eficiente, sin tener que

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