Intervalos de confianza para una sola muestra

Intervalo  de confianza.

Se habla con frecuencia de limites de probabilidad siendo aquellos (superior e inferior) asignados a un valor estimado, con el objeto de indicar el intervalo dentro del cual se supone está comprendido el valor verdadero (parámetro) conforme a algún acuerdo de carácter probabilistico, generalmente denominado grado (o nivel ) de confianza.

Los límites de confianza son los valores [pic 1] (también [pic 2]) que forman los extremos superior e inferior respectivamente de los intervalos de confianza.

La Interpretación del intervalo de confianza es como sigue: Si a partir de los datos de una muestra  aleatoria de tamaño n, hemos construido el intervalo [pic 3]con grado de confianza , por ejemplo , del 95% para el parámetro [pic 4], entonces , si se seleccionan repetidamente 100 muestras de tamaño n, tendremos 100 intervalos semejantes al intervalo [pic 5], y se confía que 95 de estos 100 intervalos contengan el parámetro [pic 6]

4.1        Distribución de medias muestrales.

Con las siguientes formulas se pueden determinar los límites de confianza para cada caso, dependiendo de la desviación típica y del tamaño de la muestra, son:

[pic 7] Cuando se da [pic 8]

[pic 9] Se tiene s y [pic 10]

[pic 11] se tiene s (corregida) y [pic 12]

[pic 13] se tiene [pic 14] (sin corregir) y [pic 15],  donde [pic 16]se encuentra en la tabla t-student con n-1 grados de libertad.

Ejemplos:

Ejemplo Nº 1

En población cuya distribución se desconoce se obtiene una muestra (m.a.s.) de 2000 valores de la que resulta una media de 225 y una desviación típica de 10. Suponiendo que la varianza muestral coincide con la poblacional, estimar un intervalo para la media de la población con un nivel de confianza del 95%.

Tendríamos 1-α =0.95 luego α =0.05; S=10=[pic 17] (muestra grande n>30); n=2000,  para una población normal.

[pic 18]

el resultado sería : µ [pic 19] [224,56 , 225,44]   con el 95 % de confianza.

Ejemplo Nº 2

Las ventas diarias de cierta oficina comercial se supone que siguen una distribución normal. Para estimar el volumen medio de ventas por día se realiza una muestra de 10 días escogidos al azar, resultando que la media de las ventas de esos 10 días es S/. 100 con una desviación típica de S/. 4. Dar un intervalo de estimación para el volumen medio de ventas por día con una confianza del 95 %.

Conocemos que  según la información que poseemos, estamos ante:       Distribución normal;  n=10 (muestra pequeña);  S=4(poblacional desconocida);   media  muestral=100;

Para 1-[pic 20] =0.95, luego [pic 21] =0.05 con lo que  [pic 22](según tabla T)

[pic 23]

El resultado sería: µ [pic 24] [S/.97,14 ; S/.102,86]   con el 95 % de confianza.

Ejemplo Nº 3

Se quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de las ventas medias por hora que se producen en un kiosco. Para ello realizamos una muestra consistente en elegir al azar las ventas que se realizaron durante 1000 horas distintas; muestra cuyos resultados fueron: ventas medias por hora S/. 4000, y varianza de dicha muestra S2 = 4000. Obtener dicho intervalo con un nivel de confianza del 95.5 %.

Queremos construir un intervalo para la media con las siguientes características:

Tamaño muestral n=1000, con muestreo aleatorio simple, la población no es normal ni conocemos su varianza.

El resultado de la muestra es [pic 25], S2=4000.

Si bien se trata de un intervalo para la media con varianza desconocida y población no normal, dado que el tamaño muestral es grande podemos suponer normalidad y tomar como varianza poblacional a la muestral así:

[pic 26]

El resultado sería: µ [pic 27] [S/.3996,1 ; S/.4003,9]   con el 95 % de confianza.

Ejercicios.

1. Una muestra de 50 observaciones tiene una media de 65 y una desviación

        Estándar de 4.2. Se piden los límites de confianza del 95 %.

1. Una muestra de 26 observaciones tiene una media de 65 y una desviación de 4.2. se piden los límites de confianza del 95%.
2. Si se obtienen todas las posibles muestras de tamaño 25 en una distribución normal, con media 20 y desviación estándar 4, ¿dentro de que limites se encuentra el 90% central de las medias muestral?
3. Suponga que la estatura media de los hombres tiene una desviación estándar de 2.48 centímetros. Se miden 100 estudiantes, hombres, elegidos aleatoriamente, y se obtiene una estatura media de 168.52 centímetros. Determine  los límites de confianza del 99 % para la estatura media de los hombres de esta universidad.
4. En una muestra de 60 observaciones, la media es 35 y la desviación estándar, 4.2. Obtenga los limites entre los cuales debe encontrarse la media poblacional, con una probabilidad del 95%.
5. Una muestra de 36 observaciones tiene una media de 40 y una desviación estándar de 2.1. Encontrar los límites de confianza del 95% para la media de la población.
6. Una muestra de 80 pesos de láminas de hierro galvanizado dio una media de 4.82 onzas y una desviación típica de 0.1 onzas. Calcular los límites de confianza, al nivel del 90%.
7. Un fabricante de metros metálicos, con el fin de controlar la exactitud de los mismos, tomo una muestra de 10 y los  midió con toda precisión. Las medidas obtenidas fueron: 0.99, 1.04, 0.98, 0.97, 1.02, 1.01, 0.99, 0.95, 1.03 y 1.02 metros. Estime con un 90%  de confianza los límites para la media 8.
8. Quince trozos de alambre de cobre tomados de 15 rodillos de alambre tienen las siguientes medidas de resistencia a la rotura ( media en libras): 1.672 ; 2.854 ; 1.680 ; 1.570 ; 2.020 ; 1.568 ; 872 ; 980 ; 1.080 ; 870 ; 896 ; 812 ; 930 ; 850 ; 864. Calcular los límites de confianza con un 95 %, para la media de la población.
9. Las determinaciones químicas del porcentaje de hierro de 15 minerales de un deposito elegido al azar, dieron un promedio de 38.2% y una desviación típica del 5.2%. Establecer los límites de confianza con un 99% para el porcentaje medio de hierro en el depósito.
10. Encuentre los límites de confianza del 90% para la media de una población normalmente distribuida , con desviación estándar 3.83, si una muestra obtenida en dicha población presenta los siguientes valores : 18.5 ; 20.6 ; 12.9 ; 14.6 ; 19.8 ; 15.0
11. En una muestra de 5 artículos se ha obtenido, al nivel del 95%, que los límites de confianza para pesos de todos los artículos embarcados, son de 12.89 y 17.1 onzas. Obtenga la media y la desviación estándar de dicha muestra.
12. Los pesos netos , en onzas , de una muestra aleatoria de 8 tarros de cerveza, son los siguientes: 12.1 , 11.9 , 12.4 , 12.3 , 11.9 , 12.1 , 12.4 , 12.1

        Encuentre los límites de confianza del 99% para el peso medio por tarro de cerveza correspondiente a la población de la cual se obtuvo la muestra.

1.  En una muestra de tamaño 10, tomada de una población normal, los límites de confianza del 90% para la media de la población son [pic 28] se pide determinar la desviación estándar de la población.
2. Supongamos que un grupo de médicos ha establecido que si los cigarrillos contienen, por término medio, 30 miligramos o más de nicotina, es seguro que se produce cáncer de pulmón en el fumador. Un ensayo sobre 100 cigarrillos de la marca A, muestra que [pic 29]miligramos  de nicotina .Si se sabe que [pic 30]miligramos, Calcular el intervalo de confianza de 99% para el consumo medio de nicotina de la marca A de cigarrillos.
3. Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la desviación típica del mismo es de 0.05 segundos. ¿Cuál será el número de medidas que deberá hacer para que sea del

1. 95%
2. 99%

        La confianza de que el error de su estima no excederá de 0.01 segundos?

1. Para confirmar el peso neto promedio de los frascos de conservas de palmito de la empresa Agroindustrial “La PALMA” , cuya especificación es 250 gramos, un estudiante de estadística inferencial selecciono una muestra aleatoria de 15 de tales frascos y observo los siguientes pesos netos en gramos.

250, 251, 249,  248,  253, 250,250, 249

248, 252, 250, 250,251, 253, 255

a)        si desarrollo un intervalo de confianza del 95 % para la media de todos los pesos netos, ¿Cree Ud. Que se aclaró la duda del estudiante?

...