INTERVALOS DE CONFIANZA MUESTRAS PEQUEÑAS

INTERVALOS DE CONFIANZA MUESTRAS PEQUEÑAS

¿Qué ocurre cuando n<30?

• No siempre se tiene la posibilidad de contar con una muestra grande.
• Vamos a focalizarnos en muestras pequeñas cuando el estadístico es la media muestral

Una muestra grande nos aseguraba que:

• La distribución muestral de la media se aproximaba a la normal a medida que n (tamaño de la muestra) crecía.
• Y el estimador del error estándar:   es confiable donde S es el estimador de σ, el desvío poblacional que por lo general es desconocido.[pic 1]

• No es fácil de verificar en muestras pequeñas la condición de normalidad

• Es difícil determinar a partir de una muestra pequeña cual es la distribución de la que provienen.

• Vimos que si n≥30, y σ es desconocido, estimamos σ con S.

• Sin embargo, cuando n ≤ 30 y σ es desconocido, también podemos utilizar S como el estimador natural de σ, pero el hecho de que n sea pequeño torna a S menos confiable.

• Para mitigar esta mayor incertidumbre en S y continuar manteniendo el I.C. se debe entonces aumentar el ancho del intervalo.

• Por lo tanto, la distribución normal estandarizada Z es reemplazada por la distribución t de student.

• La distribución t student es también simétrica alrededor de la media = 0, con forma de campana, pero con colas más sesgadas por lo que hay más probabilidad de tener más observaciones más allá de 2 desviaciones estándar.

• La t student tiene un solo parámetro llamado grados de libertad, que determina cuan sesgadas son las colas de la distribución.

• Vamos a utilizar la distribución t student cuando deseamos construir un intervalo de confianza para la media y el:

σ es desconocido.

Tamaño de la muestra n < 30

El intervalo de confianza se calcula de la siguiente manera:

 [pic 2]

 [pic 3]

[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Ejercicios:

1. Calcular el valor t para las siguientes condiciones:[pic 8]

        IC = 95%                alfa= 5%  

        n = 20                        alfa medios = 2.5%  0.025

        t =                        grados libertad = n-1 = 20-1 = 19 por tanto t = 2.0930

        Alfa = 5%                alfa medios = 2.5%  = 0.025 [pic 9]

        n = 15                        grados libertad = 14

        t =                        t= 2.1448

        Alfa = 10%                alfa medios = 5% = 0.05[pic 10]

        n =  15                        grados libertad = 14

        t =                        t=1.7613

1. Los siguientes datos corresponden al tiempo de resolución de una prueba de personalidad de una muestra de 10 personas:

Construya un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

IC=95%

Media = 51

S = 6.55

N=10

Alfa = 5%

Área cola = alfa medios = 0.025

Grados libertad = 10-1 = 9

Puntate T = 2.2622

LS = media + t(sigma / raíz de n) = 51+2.2622(6.55/ raíz de 10) = 55.68

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