INTERVALOS DE CONFIANZA PARA UNA MUESTRA

Práctica 01  - Estimación de Intervalos

Parte A.  Intervalos de confianza para la media poblacional (n ≥ 30)

La American Management Association desea información acerca del ingreso medio de los gerentes de la industria del menudeo. Una muestra aleatoria de 256 gerentes revela una media muestral de $45 420. La desviación estándar de esta muestra es de $2 050. A la asociación le gustaría responder las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la media de la población?

2. ¿Cuál es un conjunto de valores razonable de la media poblacional?

3. ¿Cómo se deben interpretar estos resultados?

En general, las distribuciones de los salarios e ingresos tienen un sesgo positivo, pues unos cuantos individuos ganan considerablemente más que otros, lo cual sesga la distribución en dirección positiva. Por fortuna, el teorema central del límite estipula que, si se selecciona una muestra grande, la distribución de las medias muestrales tenderá a seguir la distribución normal.

En este caso, una muestra de 256 gerentes es lo bastante grande para suponer que la distribución muestral tenderá a seguir la distribución normal. A continuación se responden las preguntas planteadas en el ejemplo.

¿Cuál es la media de la población? En este caso se ignora. Sí se sabe que la media de la muestra es de $45 420. De ahí que la mejor estimación del valor de población sea el estadístico de la muestra correspondiente. Por consiguiente, la media de la muestra de $45 420 constituye un estimador puntual de la media poblacional desconocida.

2. ¿Cuál es el conjunto de valores razonable de la media poblacional? La asociación decide utilizar un   nivel de confianza de 95%. Para determinar el intervalo de confianza correspondiente, se aplica la fórmula (9-1):

[pic 3][pic 2]

Es costumbre redondear estos puntos extremos a $45 169 y $45 671.  Estos puntos extremos reciben el  nombre de límites de confianza. El grado de confianza o nivel de confianza es de 95%, y el intervalo de confianza abarca de $45 169 a $45 671. Con frecuencia, ±$251 se conoce como margen de error.

3. ¿Cómo se interpretan estos resultados?

A un 95% de confianza se estima que el ingreso medio de los gerentes esta comprendido de $ 45169 a $ 45671.

Ejercicios  Propuestos

1.-Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55. Determine el intervalo de confianza de 99% de la media poblacional.

2. Se toma una muestra de 81 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 5. La media de la muestra es de 40. Determine el intervalo de confianza de 95% de la media poblacional.

3. Se selecciona una muestra de 250 observaciones de una población normal en la cual la desviación estándar poblacional se sabe que es de 25. La media de la muestra es de 20.

a) Determine el error estándar de la media.

b) Explique por qué se debe utilizar la fórmula (1) para determinar el intervalo de confianza de 95 por ciento.

c) Determine el intervalo de confianza de 95% de la media de la población.

4. Suponga que desea un nivel de confianza de 85%. ¿Qué valor utilizaría para multiplicar el error estándar de la media?

5. Una empresa de investigación llevó a cabo una encuesta para determinar la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. La empresa descubrió que la distribución de cantidades que gastan por semana tendía a seguir una distribución normal, con una desviación estándar de $5. Una muestra de 49 fumadores reveló que.

a) ¿Cuál es el estimador puntual de la media de la población? Explique lo que indica.

b) Con el nivel de confianza de 95%, determine el intervalo de confianza de [pic 4]. Explique lo que significa.

6. Repase el ejercicio anterior. Suponga que se tomó una muestra de 64 fumadores (en lugar de 49).

Suponga que la media muestral es la misma.

a) ¿Cuál es el estimador del intervalo de confianza de 95% de μ?

b) Explique por qué este intervalo de confianza es más reducido que el que se determinó en el ejercicio anterior.

7. Bob Peréz es propietario del Grifo Repsol – Lambayeque. A Bob le gustaría estimar la cantidad de galones de gasolina que vendió. Suponga que la cantidad de galones vendidos tiende a seguir una distribución normal, con una desviación estándar de 2.30 galones. De acuerdo con sus registros, selecciona una muestra aleatoria de 60 ventas y descubre que la cantidad media de galones vendidos es de 8.60.

a) ¿Cuál es el estimador puntual de la media poblacional?

b) Establezca un intervalo de confianza de 99% de la media poblacional.

c) Interprete el significado del inciso b).

8. La doctora Patton es profesora de inglés. Hace poco contó el número de faltas de ortografía que cometió un grupo de estudiantes en sus ensayos. Observó que la distribución de las faltas de ortografía por ensayo se regía por la distribución normal con una desviación estándar de 2.44 palabras por ensayo. En su clase de 40 alumnos de las 10 de la mañana, el número medio de palabras con faltas de ortografía fue de 6.05. Construya un intervalo de confianza de 95% del número medio de palabras con faltas de ortografía en la población de ensayos.

9. Una franquicia de comida rápida de la zona noreste, la cual se especializa en hamburguesas de media onza, y sándwiches de pescado y de pollo. También ofrece refrescos y papas a la francesa. El departamento de planeación de la firma informa que la distribución de ventas diarias de los restaurantes tiende a seguir la distribución normal. La desviación estándar de la distribución de ventas diarias es de  $3 000. Una muestra de 40 mostró que las ventas medias diarias suman $20 000.

a) ¿Cuál es la media de la población?

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