Introduccion a cambio de coordenadas vectoriales

Curso de verano

ANALISIS VECORIAL Y TENSORIAL (MAT -313)

Bibliografia :  Mecanica del medio Continuo (Shaum) George E. Mase

Contenido:                           1-Fundamentos matemáticos

                                               2-analisis de Tensiones

                                               3-Analisis de Deformaciones

Introducción

Muchos fenómenos físicos se representan matemáticamente mediante tensores, las cuales se representan en un sistema de partículas de coordenadas mediante cierto conjunto de cantidades denominadas sus componentes así surge el concepto de componentes de un tensor, de este modo los tensores son representaciones matemáticas de conceptos físicos o representaciones matemáticas de cantidades físicas  independientes de cualquier sistema de coordenadas que se pueden usar para describirlos.

Si bien los tensores no dependen del sistema de coordenadas, sin embargo si sus componentes dependen del sistema de coordenadas.

Por ejm ¨consideremos la temperatura¨ el cual se representa matemáticamente mediante un tensor de orden o (escalar), en un sistema particular de coordenadas que puede ser (dado en centígrados  (°C) pero también se puede ser representada en (grados kelvin °K) es mas también puede estar representado en el sistema de coordenadas (grados Fahrenheit °F) aquí claramente se  ve que la temperatura no depende del sistema de coordenadas.

Entre Sistemas de coordenadas, las componentes de un tensor están relacionadas mediante las leyes de transformación de coordenadas. Estas leyes describen la manera de calcular a partir de las componentes ai de un tensor en un sistema dado  sus componentes ai del mismo tensor en otro sistema de coordenadas.

ORDEN DE UN TENSOR

Para definir el orden de un tensor partimos de 3n  ;  n=orden del tensor en R3

Tensores de orden 0 (escalares)     30=1

Tensores de orden 1 (vectores)     31=3

Tensores de orden 3 (diadas)         32=9

Tensores de orden 2 (tríadicas)      33=27

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

Supongamos que las coordenadas rectangulares de cualquier punto (x, y, z) en el espacio se expresan como funciones de (u1, u2, u3). Por ejemplo:

 x = x(u1, u2, u3),  y = y(u1, u2, u3) y  z=z(u1, u2, u3) (1)

Suponga que las expresiones en (1) pueden resolverse para u1, u2 y u3, en términos de x, y y z, es decir,

 u1=u1(x, y, z), u2=u2(x, y, z) y u3=u3(x, y, z) (2)

Se supone que las funciones expresadas en (1) y (2) tienen un solo valor y derivadas continuas de modo que la correspondencia entre (x, y, z) y (u1, u2, u3) es única. En la práctica, esta suposición tal vez no se aplique en ciertos puntos y se requiera alguna consideración especial.

Dado un punto P con coordenadas rectangulares (x, y, z), es posible asociar a partir de (2) un conjunto único de coordenadas (u1, u2, u3) llamadas coordenadas curvilíneas de P. Los conjuntos de ecuaciones (1) o (2) definen una transformación de coordenadas.

[pic 1]

u3 curva

La relación entre (r,θ,z)  y (x,y,z) están dadas por

X=rcos(θ) ; y=rsen(θ) ; z=z

X2+y2=r2cos2(θ)+ r2 sen2(θ)  → r=[pic 2]

  →=tan-1()[pic 3][pic 4][pic 5]

De este modo la relación entre (x,y,z) y (r,θ,z)  están dadas por:

r= ; =tan-1(); z=z[pic 6][pic 7][pic 8]

similarmente   la relación entre (ρ,θ,Ø) →( x,y,z)

x= ρ sen(θ)cos(Ø) ; y= sen(θ)sen(Ø) ; z= ρ cos(θ)

ρ= ; θ=cos-1( ; Ø= Ø[pic 9][pic 10]

también la relación entre (u,v,z) →( x,y,z)

x= ;   y=uv ;  z=z[pic 11]

u=   ;  v=  ; z=z[pic 12][pic 13]

ejm hallar la relación entre el sistema de coordenadass paraboloidales y rectangulares                          (u,v, Ø) →( x,y,z)

x=uvcos(Ø) ; y=uvsen(Ø) ; z=[pic 14]

→ tan-1([pic 15][pic 16][pic 17]

X2+y2= cos2(Ø)+ sen2(Ø) → X2+y2=[pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

Ahora sustituyendo en  2z= [pic 22]

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