Investigación del resumen estructurado de la teoría de conjuntos de la unidad 2. Probabilidad y Estadística

Investigación del resumen estructurado de la teoría de conjuntos

1. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos.

Se define como una colección de objetos bajo cierta particularidad o una lista previamente definida. Usaremos las siguientes letras para referirnos a los elementos que componen un conjunto A, B, C, D, X, Y. Las letras minúsculas se usan para indicar que < p pertenece a A>.

Se dividen en 2 la primera es por comprensión que es dar prioridad que caracteriza al conjunto. Donde la letra x designa un elemento y 2 puntos es tal que.

La segunda es por extensión esta consiste en dar una lista de los elementos separados por cromas y entre llaves existe igualdad de conjuntos cuando A y B son iguales si tienen los mismos elementos, estos no dependen de la forma en que se aprecien sus elementos estos se reordenan

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1. Simbología de la teoría de conjuntos.

{,} Delimitadores de conjuntos, sería como el conjunto de…. Y significa que el conjunto consiste en A B y C hasta el infinito

{:} {|} Notación constructora de conjuntos, sería el conjunto de los elementos…tales de…… y significa que el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera o viceversa.

{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa., seria conjunto vacío y la regla es el conjunto de los números naturales al cuadrado tales que sean menores que 1 es igual conjunto vacío.

∈ S significa: a ese elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S, se lee como en; esta en; es elemento de; es miembro de; pertenece a y hace referencia a la pertenencia a un conjunto.

A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B, se lee como es subconjunto de.

A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellos de B, pero ningún otro, se lee como la unión de …. Y; unión

A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común, se lee como la intersección de…. y ……; intersección

A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B, es el complemento de un conjunto que se lee como menos; sin.

1. Definición de conjuntos, relaciones y tipos.

Cardinal de un conjunto: Sea A un conjunto, se llama cardinal de A a la cantidad de elementos distintos que tiene A, y se nota #A. Cuando el conjunto no tiene un número finito de elementos, se dice que es infinito, y se nota #A = ∞.

Subconjuntos e Inclusión: Sea A un conjunto. Se dice que un conjunto B está contenido en A, y se nota B ⊆ A (o también B ⊂ A), si todo elemento de B es un elemento de A. En ese caso decimos también que b está incluido en A, o que B es un subconjunto de A. Si B no es un subconjunto de A se nota B ̸⊆ A (o B ̸⊂ A).

Igualdad de conjuntos: A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A. Es decir, A = B si tienen exactamente los mismos elementos (sin importar el orden y sin tener en cuenta

repeticiones de elementos). (Aquí, el símbolo “⇔” es el símbolo de la implicación, que se lee “si y solo si”.)  

Combinatoria: Sea A es un conjunto finito y sea B ⊆ A. Entonces #B ≤ #A. Esto vale también para conjuntos infinitos, como verán más adelante los matemáticos. Ejemplo 1.1.7.

 Conjunto de partes: Sea A un conjunto. El conjunto de partes de A, que se nota P(A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, o sea el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de A. Es decir, P(A) = {B: B ⊆ A} o también B ∈ P(A) ⇐⇒ B ⊆ A.

1. Operaciones entre conjuntos (unión, intersección, subconjunto de, complemento de).

Subconjuntos: de un mismo conjunto referencial (o de referencia) U (para poder “operar”). Esto también es generalmente indispensable al definir un conjunto por comprensión, como por ejemplo P = {n ∈ N: n es un numero par}, o I = {x ∈ R: x ≤ 2} = [−∞, 2), que no es lo mismo que J = {x ∈ N : x ≤ 2} = {1, 2}.

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Complemento: Sea A subconjunto de un conjunto referencial U. El complemento de A (en U) es el conjunto A′ de los elementos de U que no pertenecen a A. Es decir, A ′ = {b ∈ U: b /∈ A}, o también ∀ b ∈ U, b ∈ A ′ ⇐⇒ b /∈ A.

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Unión: Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La unión de A y B es el conjunto A ∪ B de los elementos de U que pertenecen a A o a B. Es decir, A∪B = {c ∈ U: c ∈ A y c ∈ B}, o también ∀ c ∈ U, c ∈ A∪ B ⇐⇒ c ∈ A o c ∈ B. Notemos que este “o” involucrado en la definición de la unión es no excluyente, es decir si un elemento está en A y en B, está en la unión por estar en al menos alguno de los dos.

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Intersección: Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La intersección de A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos de U que pertenecen tanto a A como a B. Es decir, A ∩ B = {c ∈ U: c ∈ A y c ∈ B}, o también c ∈ A ∩ B ⇐⇒ c ∈ A y c ∈ B

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1. Diagrama de venn-euller

Este usa círculos que se ponen uno encima de otro para crear una relación entre 2 o mas conjuntos de elementos se usa como organizador estos también se denominan diagramas de conjunto o diagramas se usan en las áreas de matemática y estadística, se aprende en la nueva era de las matemáticas en la década de 1960. Llevan el nombre de John Venn escribió un articulo redactado con nombre de “De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamiento” en la revista de “Philosophical Magazine and Journal of Science”

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