LAS INTEGRALES: CÓMO DISTINGUIR SI SON O NO INMEDIATAS Y, EN SU CASO, ELEGIR EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN ADECUADO

LAS INTEGRALES: CÓMO DISTINGUIR SI SON O NO INMEDIATAS Y, EN SU CASO, ELEGIR EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN ADECUADO

Una condición indispensable para poder integrar es dominar la derivación, Otro aspecto a destacar son las relaciones entre las razones trigonométrica que nos ayudarán a realizar transformaciones en algunos integrandos.

CONCEPTO DE INTEGRACIÓN

Integrar una función f(x) es encontrar otra función F(x), llamada primitiva, cuya derivada debe ser la función que queremos integrar: D(F(x)) = f(x). Se trata por tanto de buscar una función que al derivarla nos de la función de la que partimos, aplicando las reglas de derivación en sentido inverso. De ahí la necesidad de dominar la derivación.

Aquellas integrales que se puedan resolver aplicando la definición de primitiva se denominan INTEGRALES INMEDIATAS.

El segundo requisito para dominar la integración es saber distinguir una integral inmediata de la que no lo es. Veamos algunos ejemplos.

a) ∫2cosx dx = 2 sex                                     b) ∫ex · cosx dx

c) ∫Lx dx                                                     d) ∫Lx/x dx= (Lx)2/2

 e) ∫2 ex dx = 2.ex                                       f) ∫ex · x2 dx

Si observas con detenimiento estos ejemplos te darás cuenta que las integrales a), d) y e) son inmediatas, mientras que para las demás no podrás encontrar una primitiva sin aplicar algún método de integración.

A continuación, presentamos algunos ejemplos más. Fíjate en las pequeñas transformaciones que se realizan.

• ∫5x· cos(x²+3) dx = 5/2∫2 x·cos(x²+3) dx = 5/2 sen (x²+ 3)                                                                  
• ∫5x/ √1 + x²  dx =  5∫x/(1 + x²)½  dx = 5 √(1+ x²)

Es importante prestar atención a las integrales cuyo integrando es racional. El primer paso será observar la relación entre el grado del numerador y del denominador. Si el del primero es superior será necesario realizar la división de polinimios y expresar el radicando como C(x) + R(x)/D(x). El cociente será una integral inmediata y se continuará con la fracción.

La integral de integrando fraccionario será de tipo logarítmico si en el numerador encontramos la derivada del denominador, de tipo potencial si el denominador es una potencia y en el numerador encontramos la derivada de la base o de tipo arcotangente si en el numerador encontramos la derivada de la expresión que en el denominador está elevada al cuadrado. 

• ∫2x2/ x3+ 1 dx = 2 ∫x2/ x3+ 1 dx = 2/3 L⏐x3+ 1⏐
• ∫x2/ x6+ 1 dx = 1/3 arctg x3
• ∫2x2/ (x3+ 1)5 dx = 2∫x2/ (x3+ 1)5 dx= - 2/15 (x3+ 1)4

∫3x3+ x2-10x + 1/ x2- x - 2 dx = ∫(3x + 4) dx + ∫9/ x2- x - 2  dx

Si no se trata de ninguno de estos casos, como la última integral presentada, se observa si el denominador se puede descomponer. En este caso se aplicara el método de descomposición del integrando en fracciones simples. En caso contrario, se tratará de una integral tipo arcotangente o neperiano-arcotangente.

Para resolver una integral tipo arcotangente o neperiano-arcotangente se pueden aplicar fórmulas que se pueden deducir con facilidad:

 ∫ 1/ a²+x² dx    = 1/a  arctg x/a      

∫ Df(x)/ a²+ (f(x))² dx = 1/a  arctg f(x)/a              

• ∫  1/ 9 +x²   dx =  1/3 arctg  x/3

• ∫  1/ x²+ x+1   dx  = 4∫  1/ (2x+1)²+3   dx = 2[pic 1]/3arctg 2x+1/ [pic 2]

• ∫  2x+7/ x²+x+1   dx  = ∫  2x+1/x²+x+1   dx + ∫  6/ x²+x+1   dx =

           L⏐x2+x+ 1⏐+ 12[pic 3]/3arctg 2x+1/ [pic 4]

METODOS DE INTEGRACIÓN

   DESCOMPOSICIÓN DEL INTEGRANDO EN FRACCIONES SIMPLES:

Tras descomponer el denominador, podemos encontrarnos diferentes situaciones:

1. p(x)/ q(x) = A/x-a  +  B/x-b  +  C/x-c …  (factor lineal y simple)

1. p(x)/q(x) = … +    P/(x-p)² +   Q/(x-p)     ( factor lineal doble)

     c) p(x)/q(x) = ... + Mx+n/ax² +bx +c     +  ...     ( factor cuadrático)

Este método se utiliza para descomponer la integral en una suma o resta de integrales inmediatas.

• ∫   3x+5/ x³-x²-x+1  dx        

1º-> Descomposición en factores del denominador

        x³– x²– x + 1 = (x+1) (x-1)²          

2º-> Descomposición en fracciones simples del integrando.

          3x + 5/ x³-x²-x+1  =  A/(x+1) + B/(x-1)2 +  C/(x-1)

3º-> Al multiplicar ambos miembros de la igualdad por el denominador descompuesto en factores, obtenemos:

       3x + 5 = A (x – 1)² + B (x + 1) + C (x + 1)(x – 1)      

4º-> Los valores de A, B y C se obtienen dando los valores de las raíces (por comodidad) y el cero.

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