La integración

La integración

En el mundo de las Matemáticas encontramos que existen operaciones opuestas,

como la suma y la resta, el producto y el cociente, donde una deshace o anula la

otra. De la misma manera la Integración es una operación opuesta a la

Diferenciación. La relación Diferenciación – Integración es una de los

conocimientos más importantes en el mundo de las Matemáticas. Ideas

descubiertas en forma independiente por los grandes Matemáticos Leibniz y

Newton. Inicialmente Leibniz al proceso de integración lo llamo: “Calculus

Summatorius” pero en 1.696 influenciado por Johann Bernoulli, de la dinastía

Bernoulli, le cambio el nombre a Calculus Integrelis.

Gottfried Wilhelm von Leibniz1

___________________

1 Julio de 1646 – Noviembre de 1716 HANNOVER Alemania.

Gran Filosofo, politólogo y matemático.

Precursor de la Lógica Matemática, desarrollo el Cálculo,

independiente de Newton, publicando su trabajo en 1.684,

su notación es la que se utiliza actualmente. Descubrió el

sistema binario, muy utilizado en los sistemas

informáticos. Contribuyo a la creación de la Real

Academia de Ciencias en Berlín en 1.670, siendo su

primer presidente.

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CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral

El cálculo ha sido una secuencia de áreas matemáticas entrelazadas, donde se

utilizan principios de Álgebra, Geometría, Trigonometría, se debe destacar que

para desarrollar el curso de Cálculo Integral, es pertinente tener claros los

principios de las áreas nombradas y además los de Cálculo Diferencial, ya que

como se dijo en el párrafo anterior, la integración es la opuesta a la diferenciación.

Lección 2: La Antiderivada

Para conceptuar la Antiderivada, comencemos por pensar que se tiene una

función, digamos f (x) , el trabajo consiste en encontrar otra función, digamos

D(x) tal que: D' (x) = f (x) . Así D(x) es una antiderivada de f(x). Identificar una

función a partir de su derivada, consiste en hallar un “dispositivo” (técnica) que nos

de todas las funciones posibles, donde f(x) es su derivada, a dichas funciones se

les llama Antiderivada de f(x). El dispositivo para éste proceso es llamado La

Integración.

Veamos un ejemplo sencillo: Sea f(x) = 2x, ¿cual será una función D(x) cuya

derivada es 2x? Con algo se astucia y conocimientos sólidos en diferenciación

podemos identificar que D(x) = x2. Veamos: Si derivamos D(x) = x2 obtenemos

f(x) = 2x.

Otro ejemplo: f(x) = cos(x), ¿cual será un D(x)? Debemos buscar una función

cuya derivada es cos(x), evidentemente es sen(x), luego D(x) = sen(x).

Para la notación de antiderivada hubo diversas propuestas, pero la del gran

Matemático Leibniz es la más utilizada universalmente. ∫...dx . Posteriormente se

analizará esta notación.

Para los ejemplos anteriores con la notación de Leibniz se tiene:

∫ x dx = x + c 2 (2 ) Para el otro: ∫ cos(x)dx = sen(x) + c

Posteriormente se aclara el concepto de la c

DEFINICIÓN No 1:

Una función D(x) es una antiderivada de la función f(x), si:

D’(x) = f(x). Para todo x en el dominio de f(x).

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El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se le llama la Integral Indefinida de

f(x) y se puede escribir: ∫ f (x)dx = D(x) + c

Demostración:

Como G(x) y F(x) son antiderivadas de f(x), entonces tenemos que: G’(x) = F’(x),

por una definición previa que dice: si g’(x) = f’(x) entonces: g(x) = f(x) + c para

todo x en el intervalo I abierto. Por consiguiente: G(x) = F(x) + c, para alguna

constante c.

Ejemplo No 1:

Encontrar todas las funciones cuya derivada es f(x) = 4x3 + 2.

Solución:

Una función puede ser x4 + 2x + 5, ya que al derivarla obtenemos 4x3 + 2. Luego:

Si

f(x) = 4x3 + 2, entonces D(x) = x4 + 2x + 5, pero también puede ser D(x) = x4 + 2x +

12. En general cualquier función de la forma D(x) = x4 + 2x + C, es antiderivada de

la función f(x), siendo C una constante.

Ejemplo No 2:

Encontrar todas las funciones cuya derivada es: f(x) = sec2(x).

Solución:

Si recordamos sobre derivadas de funciones trigonométricas, podemos saber que

la función cuya derivada corresponde a sec2(x), es tan(x), luego:

Si f(x) = sec2(x), entonces D(x) = tan(x) + C

TEOREMA:

Sean F(x) y G(x) antiderivadas de f(x) en un intervalo cerrado I,

entonces:

G(x) = F(x) + c para alguna constante c.

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Por consiguiente, la forma de las funciones cuya derivada corresponde a sec2(x)

es: D(x) = tan(x) + c

Ejemplo No 3:

Hallar algunas funciones cuya derivada es g(x) = 12

Solución:

Cualquier función de la forma 12x + C es antiderivada de g(x), luego algunas de

estas puede ser:

G(x) = 12x + 5, G(x) = 12x + 10, G(x) = 12x + 25

En general: G(x) = 12x + C

Los ejercicios propuestos, se deben desarrollar, utilizando las definiciones y

teoremas, analizados en este aparte.

EJERCICIOS:

Encontrar la antiderivada F(x) + C de las siguientes funciones:

1. f(x) = 8

2. f(x) = 3x2 + 4

3. f(x) = x21 – x10

4. f(x) = 3/x4 – 6/x5

5. f(x) = (3x2 – 5x6) / x8

Desarrollar la operación propuesta:

6. ∫ (x - 6)dx 5

7. ∫ ( + x ) dx

2 2 3 7

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8. ( )

dy

y

y y ∫ +

2

3 4

9. ∫ [sen ( x) - csc ( x)]dx 2

10. ∫ dx

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Lección 3: Integral indefinida.

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