La tarea de matemáticas

Tarea #6

1. Sean los vectores u , v y w que se muestran en la siguiente figura:

Determinar:

a) La componente escalar de en la dirección de .

b) La componente vectorial de en la dirección de .

c) La componente escalar de en la dirección de .

d) La componente vectorial de v en la dirección de .

Si el valor absoluto de la componente escalar de en la dirección de

= , determinar:

e) Las componentes del vector .

f) Las coordenadas del punto E.

2. Sean los vectores y tales que = 3 y = 4 y que forman un ángulo θ = radianes.

a) Calcular

b) Haciendo uso de algunas propiedades del producto escalar calcular

3. Sean los puntos A(3, 1, 2), B(7, 1, 10), C(1, 4, 3), utilizando álgebra vectorial:

a) comprobar que forman un triángulo rectángulo.

b) calcular el área de dicho triángulo.

4. Sean los vectores = (1,2,2 ) y = ( 2,1, − 2 ) perpendiculares entre sÍ y tales que son los vectores de posición de los puntos A y B respectivamente. Determinar las coordenadas de un punto C tal que sea vértice de un cubo de 3 unidades por lado, si los puntos A, B y el origen también son vértices del cubo.

5. Sean los vectores y , tales que:

× = 8 y = 2

calcular el ángulo formado por los vectores y .

6. Los puntos A(1, − 2,2) y B (1, −1,1 ) son los vértices de un triángulo ABC. Determinar el conjunto de valores de la cota z de un punto C(1, − 4, z ), tercer vértice del triángulo, para cada una de las siguientes condiciones:

a) que el ángulo interior en el vértice A sea de 30º

b) que el triángulo tenga 3 unidades de área.

7. Sean los puntos: A(1, 2, 3), B(0, 3, 1), y C(-1, 4, -1), y sea el vector = (3, -3, -3).

Calcular:

a) la componente escalar del vector en la dirección del vector

b) la componente vectorial del vector en la dirección del vector .

c) el ángulo que forman los vectores y .

d) el producto escalar entre los vectores y .

8. Sea el vector , paralelo al plano YZ, que forma un ángulo de 30° con el vector j, y tal que = 10; y sea el vector , paralelo al plano XY, que forma ángulos de 45° con los vectores i y j, y tal que = 2 .

Determinar:

a) Las componentes de los vectores y .

b) Las componentes de un vector , perpendicular a los vectores y , y tal que =2 .

Nota: Para los vectores y , hay dos soluciones.

9. Sea el triángulo que tiene por vértices a los puntos: A(-2, 6, 1), B(7, 5, 3) y C(-4, 5, 2), y sea L el segmento de recta que une los puntos medios de los lados AC y BC. Utilizando álgebra vectorial:

a) Calcular el ángulo que forman el segmento L y el lado AB.

b) Determinar la relación que existe entre la longitud del segmento L y la longitud del lado AB.

10. Sean los puntos A(5, 2, 6); B(1, 2, 3) y C(9, 4, 9). Determinar la componente vectorial de en la dirección de , y representarla gráficamente en la figura.

11. Sea el triángulo rectángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 1, 1), B(0, -3,4) y C(0, a, b). Tomando en consideración que el ángulo recto es el formado por los lados BA y BC, determinar los valores de a y de b para los cuales el área del triángulo es igual a 25 unidades de superficie (Nota: existen dos soluciones).

12. Calcular todos los valores de “y” y “z” tales que la componente escalar de = (1, y, z) sobre = 2i − 5j y sobre =(−2, ,0) sea igual a cero.

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