Limites Ejersicios

1.- Resolver el limite:

solución:

2.- Resolver el limite

solución:

La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos:

1er Método

Por lo que aplicando la factorización:

2odo Método

Un segundo método, que requiere del conocimiento de uso de fórmulas de derivación, para solucionar este tipo de problemas es la famosa ley de L´Hospital. Para los estudiantes que abordan por segunda vez el tema de límites les será de mayor utilidad, sin embargo, para los estudiantes que lo abordan por primera vez se les sugiere retomar el tema una vez que se hayan cubierto los ejercicios de derivadas. (Video 17MB )

Mediante la regla de L´Hospital

Derivamos tanto el numerador como el denominador, antes de evaluar el limite, obteniendo:

aplicando el limite a esta última expresión obtenemos:

3.- Resolver el siguiente limite:

Solución: Como el limite queda indeterminado debido a la división:

entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x7:

4.- Solucionar el siguiente limite:

Solución:

Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendríamos:

5.- Encontrar el

Solución:

6.- Encontrar la solución de la siguiente expresión:

solución:

Multiplicando por

tenemos:

7.- Encontrar la solución del siguiente limite

Solución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminación de la forma cero entre cero. Al igual que el ejercicio 2 podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes:

1er Método

Debido a que se puede expresar como

por lo que:

2odo Método

Mediante la regla de L´Hospital tenemos:

por lo que:

8.- Resolver el siguiente limite:

Solución: Como el limite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero dividiremos entre x100

con lo que:

por lo tanto:

9.- Obtén el siguiente limite:

Solución: Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar los productos

Aunque aun la solución no es tan inmediata si podemos plantear dos diferentes métodos de solución:

1er Método

Dividiremos entre la variable de mayor potencia:

por lo tanto

2odo Método

Mediante regla de L´Hospital

como esta fracción aun mantiene la indeterminación entonces se deriva nuevamente:

por tanto:

10.- Resolver el siguiente limite:

Solución:

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Limites y Continuidad →

Ejercicios Resueltos Limites y Continuidad

Publicado en 11/01/2010 de profbaptista

Ejercicio Nº1:

Ejercicio Nº2:

Ejercicio Nº3:

Ejercicio Nº4:

Ejercicio Nº5:

Ejercicio Nº6:

Ejercicio Nº7:

Ejercicio Nº8:

Ejercicio Nº9:

Ejercicio Nº10:

Ejercicio Nº11:

Ejercicio Nº12:

Ejercicio Nº13:

Ejercicio Nº14:

Ejercicio Nº15:

Ejercicio Nº16:

Límite y Continuidad de Funciones (página 2)

Enviado por Eleazar José García

Partes: 1, 2

Tomando , luego, para esos valores de y los números x que pertenecen al intervalo abierto verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:

entonces

Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.

2) Demostrar usando la definición de límite que

Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto,

si entonces (B)

si entonces

si entonces

si entonces

si entonces

Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego, entonces, por lo tanto, De la proposición (B) se obtiene que, si entonces Si tomamos se cumple la proposición (B), lo que demuestra que

Ejercicios propuestos 1.

Demuestre, aplicando la definición que el límite es el número indicado.

1)

2)

3)

4)

Con la finalidad de calcular los límites de funciones de una manera más fácil y eficaz, que aplicando la definición, son empleados los teoremas 2.1 al 2.10.

Teorema 1. Límite de una función lineal.

Sea donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces

Ejemplo 2.

Teorema 2. Límite de una función constante.

Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces

Ejemplo 3.

Teorema 3. Límite de una función identidad.

Sea , entonces

Ejemplo 4.

Teorema 4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 5.

Sean, y entonces, y

Teorema 5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones.

Si entonces:

Teorema 6. Límite del producto de dos funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 6.

Sean, y entonces,

Teorema 7. Límite del producto de n funciones.

Si entonces

Teorema 8. Límite de la n-ésima potencia de una función.

Si y n es cualquier número entero positivo, entonces

Ejemplo 7.

Sea, entonces,

Teorema 9. Límite del cociente de dos funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 8.

Sean, y entonces,

Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función.

Si n es un número entero positivo y , entonces

con la restricción que si n es par, L > 0.

Ejemplo 9.

Sea, entonces

Teorema 12. Límite del logaritmo de una función.

Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y entonces

Ejemplo 10.

Calcule: aplicando el teorema 2.12.

Apliquemos el teorema exigido:

Sin aplicar el teorema:

Teorema 11. Unicidad del límite de una función.

Si y entonces,

Este teorema asegura que si el límite de una función existe éste es único.

Infinitésimo

La función f es un infinitésimo en el punto a si y sólo si

Ejemplos 10.

1) La función f (x) = x es un infinitésimo en 0 pues

2) La función g (x) = x – 1 es un infinitésimo en 1 porque

3) La función h (x) = sen x es un infinitésimo en 0 ya que

4) La función m(x) = 4-2x es un infinitésimo en 2 pues

5) La función r(x) = cos x es un infinitésimo en porque

Infinitésimos equivalentes.

Dos infinitésimos en un mismo punto son equivalentes, cuando el límite de su cociente es la unidad.

Cuando en un límite, un infinitésimo esté multiplicado o dividido se le puede sustituir por otro infinitésimo equivalente. La suma de varios infinitésimos de distinto orden se puede reducir al infinitésimo de menor orden.

Infinitésimos

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