Concepto de límite

1.- Explica con tus propias palabras el concepto de límite

Definiendo límites:

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

El límite se utiliza para el cálculo infinitesimal o infinitésimo, que se puede definir como el cálculo de una cantidad infinitamente pequeña, en el que deben definirse estrictamente límites y considerarlos como números en la práctica. Se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación e integración, entre otros.

2.-Escribe una cadena de secuencias donde expliques cómo se sabe si una función es continua o discontinua para un intervalo abierto y para un intervalo cerrado.

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad.

Se dice que la función f es CONTINUA en el número a si y solo si se cumplen las 3 condiciones siguientes:

(i) f(a) existe;

(ii) lím f (x) existe;

x→a

(iii) lím f (x) = f (a).

x→a

Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen para a, se dice que la función f es DISCONTINUA

Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua.

Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. Una función es continua en un punto cuando en el límite de la función para x tendiendo a ese punto existe y es igual al valor de la función.

Funciones reales de una variable real

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura siguiente:

El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe. El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f (I). Notar que en general, no es igual que el condominio (sólo es igual si la función en cuestión es suproyectiva.)

El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio 'I.

FUNCION DISCONTINUA

Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.

Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos:

* Puntos en los que la función no está definida, es decir, los puntos que no pertenecen al dominio de la función, gráfica a.

* Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica b.

Las funciones discontinuas

...