El concepto de límites y continuidad

Tema página

1. Límites y continuidad. 3

1.1 Concepto de límite 4

1.1.1 Límite de una función en un punto 6

1.1.2 Interpretación geométrica 6

1.2 Teoremas sobre límites 7

1.2.1 Formas determinadas e indeterminadas de límites. 9

1.2.2 Límites laterales. 14

1.3 Límite de una función cuando la variable independiente tiende a infinito 14

1.3.1 Límites de funciones racionales cuando la variable tiende al infinito. 14

1.4 Límites de funciones racionales cuando x tiende a cero 16

1.5 Continuidad 19

1.5.1 Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. 19

1.5.2 Gráfica de funciones continuas. 21

1. Derivadas 23

1.1 Derivada de una función en un punto 23

1.1.1 Interpretación geométrica y física de la derivada. 23

1.2 Reglas de derivación 26

1.2.1 Derivadas de operaciones con funciones 26

1.2.2 Derivadas de funciones trigonométricas 28

1.2.3 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas 28

1.3 Regla de la cadena 31

1.4 Ejercicios 32

CONCLUSIONES 37

1. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Introducción

En el mundo real, todo lo físico se puede representar a través de una ecuación matemática, tanto así, que en teoría de mecánica cuántica toda la materia es una representación de ecuaciones y graficas finitas e infinitas que dan origen a un sistema de ecuaciones de orden complejo.

Por lo cual, también, todos los problemas se pueden representar en una ecuación matemática de n varíales, para realiza estudios de los mismos y dar una solución que se aplica a el mundo real.

Es decir, que la materia física, el espacio que ocupa, sus movimientos y consecuencias del movimiento se representan como un sistema de ecuaciones.Básicamente, la aplicación en la administración de los límites y continuidad de funciones se aprecia al describir lo que le ocurre a las funciones administrativas cuando toman determinados valores.

La información obtenida se puede utilizar para trazar con precisión las gráficas de las funciones. También, se puede ver la forma de usar los límites para resolver una amplia clase de problemas de optimización, incluyendo la forma de determinar el nivel de producción que proporcione la máxima ganancia a una compañía, hallar el nivel de producción que produzca el costo mínimo para una compañía, etc.

Sin embargo, también el concepto de límites y continuidad se utiliza con frecuencia en razonamientos y disertaciones ajenos a las matemáticas, por ejemplo la producción máxima teórica de una maquina industrial o de una fábrica, es decir, Buscar el rendimiento ideal que nunca es alcanzable

Algunos de los fenómenos donde adquieren significado los conceptos de límites y continuad duplican a:

* Dinámica de poblaciones, tendencia a lo largo del tiempo. (Probabilidad)

*Velocidad instantánea, aceleración de un móvil. (Física)

* Problemas de interés compuesto. (Administración)

* Propagación de enfermedades (Medicina-bacteriología)

* Distribuciones continuas de magnitudes como por ejemplo la temperatura (Física)

* Tendencia de la frecuencia relativa del suceso “salir cara” en el lanzamiento de una moneda indefinidamente. (Probabilidad)

* Fenómenos físicos como el movimiento, el electromagnetismo, la termodinámica se modelan por funciones continuas. (Física)

* Fenómenos como la mecánica relativista y la física cuántica se modelan por funciones que presentan singularidades como elemento esencial de discontinuidad. (Física)

* Producción empresarial textil, alimentos, petróleo, etc. (Administración).

1.1 Concepto de Límite:

El concepto de límite, después del de función, es el fundamento matemático más importante que ha cimentado los estudios y solución de problemas que se presentan, a través de la utilización de la ciencia matemática como herramienta del ingenio humano. Este concepto, junto con el de continuidad, conforma una pareja indisoluble, tal que para que ésta exista, debe existir aquél.

Sea un punto x0 en el eje " x”. Una vecindad o entorno de 0 x es el conjunto de puntos del eje " x " que satisfacen la desigualdad

Donde a "δ " se le conoce como la semiamplitud o radio de la vecindad. A esta vecindad se le acostumbra denotar como v (x0, δ). Cabe hacer notar, como lo indica la desigualdad antes señalada, que una vecindad es un intervalo abierto.

Concepto de límite

El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito

Propiedad: Para que una función f(x) tenga límite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos límites laterales y coincidan, es decir:

Sea dos límites que existen y c una constante. Entonces

El límite de una constante es la misma constante.

El límite de la función identidad es igual al valor de a.

El límite de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por el límite de la función.

El límite de una suma algebraica es la suma algebraica de los límites.

El límite de un producto es el producto de los límites.

El límite de un cociente es el cociente de los límites.

El límite de la potencia de una función es el límite de la función elevada a la potencia.

El límite de una raíz es la raíz del límite.

Partes de un límite

Entornos

Se denomina entorno de un punto a en x, al intervalo abierto (a −δ, a +δ) donde δ es la semiamplitud del intervalo.

El entorno de a, en notación de conjuntos puede escribirse

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