Limites Infinitos

3.1.6. Límites Infinitos y límites al Infinitos.

Límites infinitos

Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.

Crecimiento infinito:

Decrecimiento infinito:

Teorema de límite 1:

Teorema de límite 2:

Teorema de límite 3:

Teorema de límite 4:

Teorema de límite 5:

Ejercicios resueltos

En los siguientes ejercicios, determine el límite infinito.

S o l u c i o n e s

1. Solución:

2. Solución:

3. Solución:

4. Solución:

TAREA: Calcular los siguientes límites:

1.

2.

3.

4.

Límites al Infinito

En lo que sigue vamos a estudiar los límites al infinito para diversas funciones.

Aquí consideraremos un problema diferente al considerado en capítulos anteriores. En ellos nos hemos preguntado qué pasa con f(x) cuando x se aproxima a un valor determinado c. Aquí nos preguntaremos qué pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente (x crece sin cota) o cuando decrece ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los límites al infinito.

Ejemplo 1. Crecimiento ilimitado de x.

Sea , nos preguntamos:

a) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos crecer a x ilimitadamente?

b) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente? (esto es, si tomamos valores negativos de x cada vez "más abajo")

Solución: La gráfica de la función indica que a medida que x crece o decrece ilimitadamente, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a 2.

a) Construyamos una tabla de valores que nos refuerza lo que vemos en la gráfica:

Tabla 1

Hacia

x 10 100 1000 10000 100000

f(x) 3,125 2,091836 2,009018 2,0009 2,00009

Hacia 2

Con la tabla 1 comprobamos que a medida que los valores de x crecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.

La expresión "x crece sin cota" se simboliza con y se dice que x tiende a infinito. Toda la situación anterior se escribe simbólicamente como

b) Para comprobar la respuesta también construiremos una tabla de valores.

Tabla 2

Hacia

x -10 -100 -1000 -10000 -100000

f(x) 1,25 1,911764 1,991017 1,9991 1,99991

Hacia 2

Nuevamente, a partir de la tabla 2 vemos que a medida que los valores de x decrecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2.

La expresión "x decrece sin cota" se simboliza con y se dice que x tiende a menos infinito. La situación anterior se escribe simbólicamente como:

Podemos dar una definición informal para estas situaciones.

Definición. Límites al infinito

a. Decimos que el límite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L si a medida que hacemos

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