Procesos infinitos y Noción del limite

Procesos infinitos y Noción del limite

• P r o p ó s i t o: Al finalizar la unidad el alumno descubrirá intuitivamente el concepto de limite a través de diversos problemas que involucren procesos infinitos mediante los diferentes registros: numérico, grafico o simbólico.

Dados los siguientes procesos, realiza lo siguiente.

Escribe una descripción de los procesos.

Determina los resultados de los primeros 5 pasos.

Se trata de un proceso infinito o finito.

Identifica si se puede representar el proceso con una sucesión, de ser posible enlista los primeros 10 elementos de la sucesión, usando la notación pertinente.

Puedes realizar alguna representación del proceso para conjeturar cual será su comportamiento cuando el número de pasos aumente.

Procesos:

• Proceso 1

2,4,6,8,10,12,14, …

a) Es un proceso de números pares, a los cuales se le va sumando dos unidades a cada elemento de este proceso.

b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,18,20

c) Se trata de un proceso infinito ya que el proceso no nos muestra el elemento final.

d) Sí, se puede hacer una sucesión.

a1=2, a2=4, a3=6, a3=6, a4=8, a5=10

la expresión general es: 2n con n ∈ ℕ

e)

n an

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

• Proceso 2

1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 1000000000000

a) Es un proceso de números pares e impares, a los cuales se le suma un elemento a cada número del proceso.

b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

c) Se trata de un proceso finito ya que nos muestra el último elemento del proceso.

d) Sí, se puede hacer una sucesión.

a1=1, a2=2, a3=3, a4=4, a5=5

la expresión general es: n+1 con n ∈ ℕ

e)

n an

1 1+1=2

2 2+1=3

3 3+1=4

4 4+1=5

10 10+1=11

• Proceso 3

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23…

a) Estamos enlistando los números impares, en cada paso se agrega un número impar a la lista del proceso.

b) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

c) Se trata de un proceso finito porque tiene una cantidad fija de elementos y son contables, en este proceso se tienen 11 elementos o términos.

d) Sí se puede dar una sucesión asociada al proceso.

La sucesión es de tipo aritmética y mantiene una diferencia de d= 𝑎3 − 𝑎2 = 5 − 3 = 2

Los primeros 5 elementos enlistados son:

𝑎1 = 1, 𝑎2 = 3, 𝑎3 = 5, 𝑎4 = 7, 𝑎5 = 9

La expresión general de la sucesión: an = 2n – 1 con n ∈ ℕ

e)

Observación: Cuando n se hace muy grande, 2n – 1 también. n no puede tender a infinito porque este es un proceso finito, pero si n tendiera a infinito, 2n – 1 también tendería a infinito.

• proceso 4

1,3,5,7,9,11,13,14,17,21,23…

a) Estamos enlistando los números impares, en cada paso se agrega un número impar a la lista del proceso.

b) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

c) Se trata de un proceso infinito porque los puntos suspensivos indican que el proceso sigue, es decir, el listado de números continuará de forma ilimitada, en este proceso hay una cantidad ilimitada de elementos.

d) Sí se puede dar una sucesión asociada al proceso.

La sucesión mantiene la diferencia d= 𝑎3 − 𝑎2 = 5 − 3 = 2 por lo que se trata de una sucesión aritmética.

Los primeros 5 elementos enlistados son:

𝑎1 = 1, 𝑎2 = 3, 𝑎3 = 5, 𝑎4 = 7, 𝑎5 = 9

La expresión general de la sucesión: an = 2n – 1 con n ∈ ℕ

e)

Observación: Cuando n se hace muy grande, 2n – 1 también. Cuando n tiende a infinito, 2n – 1 también tiende a infinito y la gráfica crece exponencialmente.

• Proceso 5

0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, …

a) Es un proceso infinito donde el siguiente término se le agrega un .0 respecto al término anterior, en otras palabras, este es multiplicado por 10.

b) 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001, 0.0000001, 0.00000001, 0.000000001, 0.0000000001, 0.00000000001…

c) Es un proceso infinito ya que los números decimales y la sucesión no marcan un fin.

d) El mismo proceso ya representa una sucesión. La sucesión tiene la característica de aumentar un .0 a cada término.

a1 = 0.01, a2= 0.001, a3 = 0.0001, a4=0.00001, a5=0.000001.

La expresión general de la sucesión: 𝑎𝑛 = (1/10)n con 𝑛 ∈ ℕ

n (x) an (y)

1 0.01

2 0.001

3 0.0001

4 0.00001

5 0.000001

6 0.0000001

7 0.00000001

8 0.000000001

9 0.00000000001

(gráfica realizada en geogebra por la cantidad de decimales)

Cuando "n" se hace más grande, la recta se ve más declinada, y an se encuentra más cerca al cero, pero nunca llegará a él. 𝑎𝑛 = 1/ (10)n

• Proceso 6

2+4+6+8+10+12+14+…

a) Es un proceso dónde se suman todos los números pares, en cada término uno mayor al otro.

b) 2, +4, +6, +8, +10, +12, +14, +16, +18, +20

c) Es un proceso infinito, porque continúa sumando los números pares sin fin, ya que estos son infinitos.

d) El proceso puede ser representado con una serie, ya que representa una suma infinita. Los primeros 5 términos de la serie serían:

a1= 2, a2= +4, a3 = +6, a4=+8, a5=+10

La expresión general de la serie:

Entre mayor sea el término, el número que le es sumado a la serie es mayor, por lo que la recta va continúa subiendo.

e)

n (x) an (y)

1 2

2 +4 (6)

3 +6 (12)

4 +8 (20)

5 +10 (30)

6 +12 (42)

• Proceso 7

1+2+3+4+…+1000000000000

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