Los principios y las propias definiciones matemáticas de cálculo

CALCULO INTEGRAL

TRABAJO COLABORATIVO 3

PRESENTADO POR

CARLOS ENRIQUEZ

COD. 67584388

GRUPO 10041_162

PRESENTADO A TUTOR:

WILSON IGNACIO CEPEDA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

CEAD NEIVA

MAYO DE 2014

INTRODUCCIÓN

El Cálculo Integral es el Área de las matemáticas, que pertenece al campo de formación disciplinar y tiene carácter básico en cualquier Área del saber, debido a que los Ingenieros, Administradores, Economistas, Físicos, Químicos, por supuesto los Matemáticos y demás profesionales requieren de esta área del saber. Un buen conocimiento del cálculo diferencial, permite y facilita trabajar el curso de cálculo integral, en donde se desarrollan teorías, principios y definiciones matemáticas propias del cálculo infinitesimal.

El objetivo fundamental de este trabajo colaborativo es identificar, comprender e interiorizar los conocimientos adquiridos sobre los métodos de integración.

SOLUCION

Realice un (1) ejercicio de libre escogencia solucionado paso a paso para cada uno de las siguientes lecciones.

LECCIÓN NO 31. ÁREAS DE REGIONES PLANAS

Calcular el valor del área de la región limitada por:

y=x^3-x^2-6x

y=0

SOLUCIÓN:

PASO 1: Dibujamos y=x^3-x^2-6x

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x.

PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

y=x^3-x^2-6x

x(x^2-x-6)=0

x(x-3)(x+2)=0

x=0 v x=3 v x=-2

PASO 4: La integral definida para el área sería:

A=∫_(-2)^0▒[ 〖(x〗^3-x^2-6x)-(0)]dx+∫_0^3▒[(0)-〖(x〗^3-x^2-6x]dx

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

A=∫_(-2)^0▒[ 〖(x〗^3-x^2-6x)-(0)]dx+∫_0^3▒[(0)-〖(x〗^3-x^2-6x]dx

A=∫_(-2)^0▒[ x^3-x^2-6x]dx+∫_0^3▒[ 〖-x〗^3-x^2-6x]dx

=(x^4/4 -x^3/3-6 x^2/2) ├ 1/2 ]_1^2 ├ + (x^4/4-x^3/3-6 x^2/2) ]_1^2

Luego de reemplazar tenemos:

=-4-8/3+12-81/4+9+27

A=253/12

LECCIÓN NO 37: VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana

R: y=x^2

y=√8 alrededor del eje x.

SOLUCIÓN:

PASO 1: trazamos las gráficas de las curvas dadas.

PASO 2: Identificamos la región.

PASO 3: El elemento diferencial lo escogemos vertical.

x^2=√8

x^4=8x

x(x^3-8)=0

x=0 v x=2

Al hacer girar el elemento diferencial en torno al eje indicado se forma un anillo, cuyo volumen está dado por:

dV=π[r^(2 ) 2-r^2]dx y en este caso r2=√8 y r1=x^2

PASO 4: Por tanto

V=π∫_0^2▒[ (√8)^2-(x^2 )^2]dx

=π∫_0^2▒[ 8x-x^4]dx

=π( 8 x^2/2 -x^5/5) ├ 1/2 ]_0^2

=π( 16 -32/5)

V=48/5 π u^3

LECCIÓN NO 43: INTEGRALES EN LA ESTADISTICA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

El tiempo de retraso, medido en minutos, del Metro Medellín- Bello sigue una variable aleatoria continua con función de distribución.

0 Si x ≤ -1

K(x+1)+ (x^2-1)/2 Si – 1 < x ≤ 0 ,

F(x) = K(x+1) - (x^2+1)/2 Si 0 < x ≤ 1

Si x > 1

a) Calcule el valor de k.

b) Calcule la probabilidad de que el metro llegue con menos de medio minuto de

retraso.

c) Calcule la probabilidad de que el metro llegue antes de la hora prevista.

SOLUCION:

Sea X la v.a. que mide el tiempo de retraso en minutos del metro Medellín - Bello. Nótese que cuando X < 0 significa que la llegada del metro se ha producido con antelación a su tiempo de llegada previsto. En cambio, si X > 0, entonces el metro habrá llegado con retraso.

Al ser X una v.a. continua, sabemos que su función de distribución, F, ha de ser continua en todo punto.

De modo que, Limx 1+F(x)=F(1) 1=2k-1 K=1

Pr(X < 0,5 min) = F(0,5) =

F(0,5) = (0,5 + 1) –〖(0,5) 〗^2+1 = 7/8 =8,75 =87,5%

2

c) Pr(X < 0) = F(0) = 1 – 1 = 0,5 = 50%:

2

Hallar la longitud del arco de la curva y^2=16x^3, desde x = 1 y x = 2.

SOLUCIÓN: La ecuación utilizada para hallar la longitud de una curva en un intervalo dado está representada por la ecuación:

...