LÍMITE DE UNA VARIABLE

LÍMITE DE UNA VARIABLE

Se dice que la variable x tiende a la constante a, o bien, que el límite de x es a, si para todo número  (por pequeño que sea éste) siempre se verifica que .[pic 1][pic 2]

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

Dados una función   f    los números   a y L, se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” es L, si para todo número positivo      existe un número positivo      tal que [pic 3][pic 4]

   siempre que   .[pic 5][pic 6]

La anterior definición establece que los valores de la función f(x) se aproximan a un límite L a medida que x se aproxima a un número a, si el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y L, se puede hacer tan pequeño como se quiera, tomando x suficientemente cercana a “a” pero no igual a “a”.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LÍMITE

La interpretación geométrica expresa que, dado , debe ser posible encontrar un  tal que la función se encuentre en el rectángulo limitado por las rectas
x = a – ,    x = a + ,    y = L – ,    y = L + . Nada se dice acerca del valor de f cuando x es a.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

        [pic 14][pic 15]

Nota.- Una vez encontrado un  para un determinado , se puede emplear el mismo  para todos los  mayores. [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

Geométricamente esto significa que si la función se encuentra en un rectángulo, también está contenida en otro rectángulo del mismo ancho pero de mayor altura.

FUNCIÓN PAR Y FUNCIÓN IMPAR

Una función es par si    f(-x) = f(x)

Una función es impar si     -f(x) = f(-x),    o bien,  

                                                f(x) = -f(-x)

Si    f y g    son funciones pares y    h, r    son impares, entonces se cumple que

1.    f  g es par[pic 20]
2.    f  h es impar[pic 21]
3.    h  r es par[pic 22]
4.       es par[pic 23]
5.       es impar[pic 24]

LÍMITE DE LA FUNCIÓN CONSTANTE

Sea f(x) una función constante. El límite de f(x) cuando x tiende a un número a cualquiera, es igual a la constante. Esto es, si

f(x) = k   entonces   [pic 25]

LÍMITE DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD

Sea f(x) la función identidad. El límite de f(x) cuando x tiende a cualquier número a es igual al número a. Es decir, si

f(x) = x   entonces   [pic 26]

TEOREMAS SOBRE LÍMITES

UNICIDAD DE LOS LÍMITES

Si una función f(x) está definida en un entorno del punto x = a, entonces f(x) no puede tener dos límites distintos cuando x tiende al valor a; es decir, si el límite existe, es único.

SIGNOS DE LOS LÍMITES

Si una función f(x) es positiva o nula en un entorno del punto x = a, entonces el límite de f(x) cuando x tiende al valor a es positivo o nulo.

Análogamente, si una función f(x) es negativa o nula en un entorno del punto x = a, entonces el límite de f(x) cuando x tiende al valor a es negativo o nulo.

LÍMITE DE UNA SUMA

Si f(x) es la suma de un número finito de funciones de x que tienen límite cuando x tiende al número a, entonces f(x) tiene límite cuando x tiende al valor a y dicho límite es igual a la suma de los límites cuando x tiende al número a.

LÍMITE DE UN PRODUCTO

Si una función f(x) es el producto de un número finito de funciones de x que tienen límite cuando x tiende al valor a, entonces el límite de f(x) cuando x tiende al número a existe y es igual al producto de los límites en este punto.

LÍMITE DE UN COCIENTE

Si f(x) es el cociente de dos funciones de x que tienen límite cuando x tiende al número a y el límite del denominador es distinto de cero, entonces el límite de f(x) cuando x tiende al valor a existe y es igual al cociente de los límites en ese punto.

LÍMITE DE UNA RAÍZ ENÉSIMA

Si f(x) es una función que tiene límite L cuando x tiende al número a, L es positivo y n (índice de la raíz) es un número entero positivo, entonces el límite de la raíz enésima de f(x) cuando x tiende al valor a es igual a la raíz enésima del límite de f(x) es ese punto.

Lo anterior también se cumple si L es negativo o cero y n es un número entero impar  positivo.

LÍMITE LATERAL POR LA DERECHA

Sea y = f(x) donde x está definida en el intervalo abierto (a, a + h) donde h  R, h  0, como se muestra en la siguiente figura:[pic 27][pic 28]

[pic 29]

El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” por la derecha es L1 y se denota:

 = L1[pic 30]

si para cualquier  existe un  tal que:[pic 31][pic 32]

|f(x) - L|      siempre que     0  x – a  [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Nótese que en esta última expresión no hay barras de valor absoluto para x – a, ya que si    x  a,    x – a  0.[pic 37][pic 38]

LÍMITE LATERAL POR LA IZQUIERDA

Sea y = f(x) donde x está definida en el intervalo abierto (a - h, a) donde h  R, h  0, como se observa en la siguiente figura:[pic 39][pic 40]

[pic 41]

El límite de f(x) cuando x se aproxima a “a” por la izquierda es L2 y se denota:

 = L2[pic 42]

si para cualquier  existe un  tal que:[pic 43][pic 44]

|f(x) - L|      siempre que     0  a - x  [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

En esta última expresión no hay barras de valor absoluto para a - x , ya que si    a  x,    a – x  0.[pic 49][pic 50]

TEOREMA

Si f(x) tiene límite cuando x tiende al valor a y este límite es el número L, entonces los límites cuando x tiende a “a” por la izquierda y por la derecha  existen y ambos son iguales a L.

La interpretación geométrica de lo anterior se muestra en la siguiente figura:

[pic 51]

Por el contrario, si los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, el          no existe.[pic 52]

[pic 53]

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

La función f es continua en el valor a  , siempre y cuando se cumpla que     .[pic 54][pic 55][pic 56]

La definición anterior implica que se cumplan las siguientes condiciones:

1.  Que f(a) esté definida.
2.  Que exista   [pic 57]
3.  Que   [pic 58]

Basta con que una de las tres condiciones no se cumpla para que la función f no sea continua en el valor a. Sin embargo, la tercera condición es necesaria y suficiente para que la función y = f(x) sea continua en a.

DISCONTINUIDAD REMOVIBLE

Si la discontinuidad se origina porque no existe f(a), existiendo ; o bien cuando
, la discontinuidad es removible, pues basta con definir          para que la discontinuidad se elimine.[pic 59][pic 60][pic 61]

Se estaría definiendo una nueva función idéntica a la anterior, excepto en el punto x = a.

En el caso que la discontinuidad sea originada por la no existencia del , entonces la discontinuidad es irremovible.[pic 62]

TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS

Si f y g son dos funciones continuas en x =a, entonces:

1.  f + g   es continua en x = a
2.  f - g   es continua en x = a
3.  f  g   es continua en x = a[pic 63]
4.  f  g   es continua en x = a, siempre que g(x)  0.[pic 64][pic 65]

Si f(x) es una función polinómica, entonces es una función continua para todos los valores de su dominio.

 Si f(x) =  es una función racional, entonces f(x) es continua para todo su dominio siempre que h(x) 0.[pic 66][pic 67]

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