Límites (definición formal)

Límites (definición formal)

Primero lee la introducción a los límites

Acercándose ...

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función.

Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe:

Más formal

Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general

De español a matemáticas

Vamos a decirlo primero en español:

"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"

Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir

"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"

Calculando "cerca"

A ver cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restar un valor de otro?

Ejemplo 1: 4.01 - 4 = 0.01

Ejemplo 2: 3.8 - 4 = -0.2

Hmmm... ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido... lo que nos hace falta es "no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber la distancia". La solución es usar el valor absoluto.

"Qué tan cerca" = |a-b|

Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01

Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2

Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:

"|f(x)-L| es pequeño cuando |x-a| es pequeño"

Y esta animación muestra lo que pasa con la función

f(x) = (x2 - 1) / (x-1)

• cuando x se acerca a a=1,

• f(x) se acerca a L=2

Así que

• |f(x)-2| es pequeño

• cuando |x-1| es pequeño.

Delta y epsilon

Pero "pequeño" es español, no "matemático".

Tenemos que elegir dos valores para ser más pequeños que ellos:

para que |x-a| sea más pequeño que él

para que |f(x)-L| sea más pequeño que él

(Nota: estas dos letras griegas, δ llamada "delta" y ε llamada "epsilon", se suelen

usar para esto, de aquí sale la frase "delta-epsilon")

Y tenemos:

"|f(x)-L|< cuando |x-a|< "

¡Y esto lo dice todo! Así que si entiendes esto entenderás los límites...

... pero para ser absolutamente preciso necesitamos poner estas tres condiciones:

1) 2) 3)

se cumple para todos los >0 existe y es >0 x no es exactamente igual que a significa 0<|x-a|

Y así queda:

"para cada >0, hay un >0 que cumple que |f(x)-L|< cuando 0<|x-a|< "

Esta es la definición formal. Pero la esencia es que cuando x se acerca a a entonces f(x) se acerca a L.

Cómo se usa en una demostración

Para usar esta definición en una prueba, tenemos que ir

De: A:

0<|x-a|< |f(x)-L|<

Normalmente esto significa encontrar una fórmula para (en términos de ) que funcione.

¿Cómo la encontramos? ¡Adivina y comprueba!

• Juega y manipula hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar

• Ponla a prueba para ver si de verdad funciona.

Ejemplo: vamos a intentar probar que

Cómo vamos de:

(Nota: a=3, y L=10) 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|<

Paso 1: juega con el límite hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar

Empieza con: |(2x+4)-10|<

Simplifica: |2x-6|<

Saca el 2: 2|x-3|<

Pasa el 2 al otro lado: |x-3|< /2

Aquí podemos adivinar que = /2 puede funcionar

Paso 2: comprueba a ver si la fórmula funciona.

Entonces, ¿ cómo vamos de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< ? A ver...

Empieza con: 0<|x-3|<

Sustituye : 0<|x-3|< /2

Pasa el 2 al otro lado: 0<2|x-3|<

Pon el 2 dentro: 0<|2x-6|<

Saca un "10" 0<|(2x+4)-10|<

¡Sí! Podemos ir de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< eligiendo = /2

Así que sí se cumple que siempre hay un , entonces es verdad que:

"para cada , existe un que cumple que |f(x)-L|< cuando 0<|x-a|< "

Y así hemos demostrado que

Definición de límite

Para llegar a una definición formal del concepto de límite se retoma el ejemplo en el cual dada la función f(x)  con dominio D  {x / x  R  x  1}, se obtuvo que  6.

Para profundizar el significado de la expresión: f(x) tiende a 6 cuando x tiende a 1, se estudiará el comportamiento de las distancias entre x y 1 y entre f(x) y 6. Se agregan a las tablas confeccionadas anteriormente dos columnas encabezadas por y .

x < 1 | x > 1 |

x | f(x) | | | x | f(x) | | |

0,9 | 5,7 | 0,1 | 0,3 | 1,1 | 6,3 | 0,1 | 0,3 |

0,95 | 5,85 | 0,05 | 0,15 | 1,05 | 6,15 | 0,05 | 0,15 |

0,99 | 5,97 | 0,01 | 0,03 | 1,01 | 6,03 | 0,01 | 0,03 |

0,995 | 5,985 | 0,005 | 0,015 | 1,005 | 6,015 | 0,005 | 0,015 |

0,999 | 5,997 | 0,001 | 0,003 | 1,001 | 6,003 | 0,001 | 0,003 |

Observando las tablas surge que cuando x difiere de 1 en 0,1, la función f(x) difiere de 6 en 0,3 y cuando x difiere de 1 en 0,001 la función difiere de 6 en 0,003.

Esto puede expresarse de otro modo diciendo que los valores de f pueden hacerse tan próximos a 6 como se quiera, tomando x suficientemente próximo a 1.

Más precisamente, puede hacerse el valor absoluto de la diferencia tan pequeño como se quiera, tomando suficientemente pequeño el valor absoluto de la diferencia, .

Por ejemplo, si se desea que < 0,45 se debe tener en cuenta:





 3 < 0,15

De esta manera, para que < 0,45 bastará con tomar siendo x  1.

Así se ha probado que si , o bien, expresado de otra manera:

Resulta útil visualizar gráficamente esta situación.

Para ello, se debe tener en cuenta que, si x  1, x  1  0  f(x) 

De esta manera, la gráfica de la función f(x)  es la recta y  3x + 3 excluido el punto (1, 4) pues la función no está definida para x  1.

Si x  1  1 – 0,15 < x < 1 + 0,15, entonces 6 – 0,45 < f(x) < 6 + 0,45.

La parte de gráfica encerrada entre las rectas verticales x  0,85 y x  1,15 también queda encerrada entre las rectas horizontales y  5,55 e y  6,45.

El procedimiento realizado podría repetirse fijando otros valores para  f(x)  6 . A esos valores (positivos) se los llama, en forma genérica,  (épsilon) y para cada uno de ellos se obtiene un valor  (delta) también positivo, tal que: si x  1 y 1  < x < 1+ , entonces 6   < f(x) < 6+  .

Utilizando notación de distancia. Si x  1 y  x 1 <  entonces  f(x)  6 < 

o en forma equivalente: si x  1  x  (1   , 1 +  )  f(x)  (6   , 6 +  )

Gráficamente significa que la parte de gráfica encerrada entre las rectas verticales x  1   y x  1 + , también queda encerrada entre las rectas horizontales y  6   e y  6 +  .

Puede decirse que  6.

Definición de límite

(por pequeño que sea),   > 0 /  f(x)  L  <  para 0   x a    .

o bien:

 x a     f(x)  L  < 

Esta definición establece que los valores de la función y  f(x) se aproximan al límite L conforme x lo hace al número a si el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función tiene límite en podemos decir de manera informal que la función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distinto de .

Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función .

Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notación es tremendamente

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