Límites (definición formal)

Límites (definición formal)

Primero lee la introducción a los límites

Acercándose ...

A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vas acercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función.

Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?

(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0

Pero 0/0 es "indeterminado", lo que significa que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:

x (x2-1)/(x-1)

0.5 1.50000

0.9 1.90000

0.99 1.99000

0.999 1.99900

0.9999 1.99990

0.99999 1.99999

... ...

Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:

El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2

Y con símbolos se escribe:

Más formal

Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general

De español a matemáticas

Vamos a decirlo primero en español:

"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"

Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir

"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"

Calculando "cerca"

A ver cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restar un valor de otro?

Ejemplo 1: 4.01 - 4 = 0.01

Ejemplo 2: 3.8 - 4 = -0.2

Hmmm... ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido... lo que nos hace falta es "no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber la distancia". La solución es usar el valor absoluto.

"Qué tan cerca" = |a-b|

Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01

Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2

Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:

"|f(x)-L| es pequeño cuando |x-a| es pequeño"

Y esta animación muestra lo que pasa con la función

f(x) = (x2 - 1) / (x-1)

• cuando x se acerca a a=1,

• f(x) se acerca a L=2

Así que

• |f(x)-2| es pequeño

• cuando |x-1| es pequeño.

Delta y epsilon

Pero "pequeño" es español, no "matemático".

Tenemos que elegir dos valores para ser más pequeños que ellos:

para que |x-a| sea más pequeño que él

para que |f(x)-L| sea más pequeño que él

(Nota: estas dos letras griegas, δ llamada "delta" y ε llamada "epsilon", se suelen

usar para esto, de aquí sale la frase "delta-epsilon")

Y tenemos:

"|f(x)-L|< cuando |x-a|< "

¡Y esto lo dice todo! Así que si entiendes esto entenderás los límites...

... pero para ser absolutamente preciso necesitamos poner estas tres condiciones:

1) 2) 3)

se cumple para todos los >0 existe y es >0 x no es exactamente igual que a significa 0<|x-a|

Y así queda:

"para cada >0, hay un >0 que cumple que |f(x)-L|< cuando 0<|x-a|< "

Esta es la definición formal. Pero la esencia es que cuando x se acerca a a entonces f(x) se acerca a L.

Cómo se usa en una demostración

Para usar esta definición en una prueba, tenemos que ir

De: A:

0<|x-a|< |f(x)-L|<

Normalmente esto significa encontrar una fórmula para (en términos de ) que funcione.

¿Cómo la encontramos? ¡Adivina y comprueba!

• Juega y manipula hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar

• Ponla a prueba para ver si de verdad funciona.

Ejemplo: vamos a intentar probar que

Cómo vamos de:

(Nota: a=3, y L=10) 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|<

Paso 1: juega con el límite hasta que encuentres una fórmula que podría funcionar

Empieza con: |(2x+4)-10|<

Simplifica: |2x-6|<

Saca el 2: 2|x-3|<

Pasa el 2 al otro lado: |x-3|< /2

Aquí podemos adivinar que = /2 puede funcionar

Paso 2: comprueba a ver si la fórmula funciona.

Entonces, ¿ cómo vamos de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< ? A ver...

Empieza con: 0<|x-3|<

Sustituye : 0<|x-3|< /2

Pasa el 2 al otro lado: 0<2|x-3|<

Pon el 2 dentro: 0<|2x-6|<

Saca un "10" 0<|(2x+4)-10|<

¡Sí! Podemos ir de 0<|x-3|< a |(2x+4)-10|< eligiendo = /2

Así que sí se cumple que siempre hay un , entonces es verdad que:

"para cada , existe un que cumple que |f(x)-L|< cuando 0<|x-a|< "

Y así hemos demostrado que

Definición de límite

Para llegar a una definición formal del concepto de límite se retoma el ejemplo en el cual dada la función f(x)  con dominio D  {x / x  R  x  1}, se obtuvo que  6.

Para profundizar el significado de la expresión: f(x) tiende a 6 cuando x tiende a 1, se estudiará el comportamiento de las distancias entre x y 1 y entre f(x) y 6. Se agregan a las tablas confeccionadas anteriormente dos columnas encabezadas por y .

x < 1 | x > 1 |

x | f(x) | | | x | f(x) | | |

0,9 | 5,7 | 0,1 | 0,3 | 1,1 | 6,3 | 0,1 | 0,3 |

0,95 | 5,85 | 0,05 | 0,15 | 1,05 | 6,15 | 0,05 | 0,15 |

0,99 | 5,97 | 0,01 | 0,03 | 1,01 | 6,03 | 0,01 | 0,03 |

0,995 | 5,985 | 0,005 | 0,015 | 1,005 | 6,015 | 0,005 | 0,015 |

0,999 | 5,997 | 0,001 | 0,003 | 1,001 | 6,003 | 0,001 | 0,003 |

Observando las tablas surge que cuando x difiere de 1 en 0,1, la función f(x) difiere de 6 en 0,3 y cuando x difiere de 1 en 0,001 la función difiere de 6 en 0,003.

Esto puede expresarse de otro modo diciendo que los valores de f pueden hacerse tan próximos a 6 como se quiera, tomando x suficientemente próximo a 1.

Más precisamente, puede hacerse el valor absoluto de la diferencia tan pequeño como se quiera, tomando suficientemente pequeño el valor absoluto de la diferencia, .

Por ejemplo, si se desea que < 0,45 se debe tener en cuenta:





 3 < 0,15

De esta manera, para que < 0,45 bastará con tomar siendo x  1.

Así se ha probado que si , o bien, expresado de otra

...