La definición de final el límite de la función

Límite finito

Intervalo cerrado

Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo es cerrado, y se denota por [a,b].

[a,b] = { x perteneciente a R / a <= x <= b }

El intervalo cerrado [a,b] consiste de los puntos x para los cuales a <= x <= b.

Intervalo abierto

Si los puntos extremos se excluyen, el intervalo se llama abierto, y se denota por (a,b).

(a,b) = { x perteneciente a R / a < x < b }

El intervalo abierto (a,b) consiste de aquellos puntos x para los cuales a < x < b.

Entorno del punto a de radio δ

Es el intervalo abierto (a - δ,a + δ), esto es, consiste de los valores x para los cuales a - δ < x < a + δ.

Ea,δ = { x perteneciente a R / |x - a| < δ }

Son los puntos x cuya distancia al punto a es menor que δ.

Entorno reducido de a de radio δ

No incluye al punto a.

E*a,δ = { x perteneciente a R / 0 < |x - a| < δ }

Son los puntos x cuya distancia al punto a es menor que δ pero mayor que 0, es decir, no se incluye a a.

El concepto de Límite

Consideremos la función f(x)=x2.

Observemos los valores de f(x) para x cercanos a 3.

x f(x)

2,8 7,84

2,9 8,41

2,95 8,7025

2,99 8,9401

2,999 8,994001

3,001 9,006001

3,01 9,0601

3,05 9,3025

3,1 9,61

3,2 10,24

Cuando x se aproxima a 3, los valores de f(x) se acercan a 9. Se dice que f(x) tiende a 9 cuando x tiende a 3.

En general, una función f(x) tiende a un límite b cuando x tiende a a, si f(x) difiere arbitrariamente poco de b para todo x situado suficientemente cerca de a.

En símbolos, limx->af(x)=b.

Enseguida se expresa más precisamente la definición de límite.

Definición

Límite finito de una función

limx->a f(x)=b <=> para todo ε>0 existe δ>0 / para todo x, 0 < |x-a| < δ |f(x) - b| < ε.

Otra notación:

limx->a f(x)=b <=> para todo Eb,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece a Eb,ε.

Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera, existe un δ tal que para todo x perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función pertenece al entorno de b de radio ε.

Dicho de otro modo, para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un δ tal que para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) está dentro del entorno de b de radio ε.

limx->af(x)=b significa que por más pequeño que sea el entorno considerado alrededor de b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para cuyos valores x (x ≠ a), la función f da como resultado valores que están dentro del entorno de b considerado.

En otras palabras, la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si el valor de la función f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor b cuando x se aproxima al valor a.

Notar que la definición dice entorno reducido de a. Es decir que f(a) puede no existir, o puede estar fuera del entorno de b, pero el límite de f cuando x tiende a a sigue siendo b.

f(a) ≠ b, pero limx->af(x)=b

Teorema

Unicidad del límite de una función

Si una función tiene límite es único.

H) Existe limx->af(x)=b

T) b es único

Demostración

La demostración se hace por reducción al absurdo.

Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.

Suponemos que b > c.

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.

limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.

Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple

• f(x) pertenece a Eb,ε

• f(x) pertenece a Ec,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.

Absurdo de suponer b ≠ c.

Por lo tanto b = c.

Definición

Límites laterales

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :

limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.

Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :

limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.

Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ).

x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).

A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.

Ejemplo

f(x) = x2 si x <= 2

-2x + 1 si x > 2

limx->2-f(x)=4

limx->2+f(x)=-3

No existe limx->2f(x)

Teorema

Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.

H) limx->af(x)=b

T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b

Demostración:

Directo:

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.

=> para todo ε > 0 existe

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