Método de Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel.

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1 de Octubre del 2019.

INDICE

INTRODUCCIÓN        3

Biografía Philipp Ludwig Von Seidel        4

Biografía Johann Carl Friedrich Gauss        5

1) METODO DE GAUSS SEIDEL        6

2) DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL        7

3) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL        8

4) EJEMPLO DEL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL        10

5) ALGORITMO GAUSS-SEIDEL MATLAB        12

6) EJERCICIO REALIZADO EN MATLAB        14

CONCLUSION        15

BIBLIOGRAFÍA        16

INTRODUCCIÓN

La definición y aplicación del método iterativo Gauss-Seidel para la resolución de matrices en las ecuaciones lineales. La información recopilada para esta investigación fue obtenida por medio de consultas a documentos, videos y algoritmos referentes a la definición y aplicación del método de Gauss-Seidel los cuales encontramos en compilaciones de libros y la red. La investigación se enfoca en la utilidad del método para la resolución de las ecuaciones lineales y en comparación con otros métodos iterativos parecidos su precisión, su facilidad de aplicación, su complejidad, sus condiciones de aplicación, etc.

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidely es similar al método de Jacobi. Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.

Biografía Philipp Ludwig Von Seidel

Nacido: 24 de octubre de 1821 en Zweibrücken, Alemania, Fallecido: 13 de agosto de 1896 en Munich, Alemania, La madre de Philipp von Seidel era Julie Reinhold. Su padre, Justus Christian Felix Seidel, trabajaba para la oficina de correos alemana y su trabajo lo obligaba a mudarse con frecuencia. Obtuvo su doctorado de Munich en 1846 para una tesis Über die beste Form der Spiegel en Teleskopen. Seis meses después, presentó su disertación de habilitación Untersuchungen über die Konvergenz und Divergenz der Kettenbrüche y calificó para convertirse en profesor en Munich. Vale la pena señalar que estas dos tesis, presentadas solo con seis meses de diferencia, se referían a dos temas completamente diferentes: el primero era sobre astronomía y el segundo sobre análisis matemático.

Al igual que estas dos tesis, Seidel trabajó en diópticas y análisis matemáticos a lo largo de su carrera. Su trabajo sobre lentes e identificó matemáticamente cinco coeficientes que describen la aberración de una lente, ahora llamada 'sumas de Seidel'. Estas sumas de Seidel corresponden a aberración esférica, coma, astigmatismo, curvatura de Petzval y distorsión. También introdujo el concepto de convergencia no uniforme y la probabilidad aplicada a la astronomía.

Seidel progresó rápidamente en Munich. Fue nombrado profesor extraordinario en Munich en 1847 y luego profesor ordinario en 1855. Recibió muchos honores, como el nombramiento como Consejero Real. Recibió muchas medallas por su trabajo y, en 1851, fue elegido miembro de la Academia de Ciencias de Baviera. Otras academias también lo honraron, por ejemplo, fue elegido para las academias de Gotinga y de Berlín.

Un aspecto interesante del trabajo astronómico de Seidel implicaba, como mencionamos anteriormente, el uso de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, no restringió su uso de esta disciplina matemática a la astronomía, ya que también aplicó sus habilidades en esta área para estudiar la frecuencia de ciertas enfermedades y también examinó ciertas preguntas relacionadas con el clima. Dio una conferencia sobre la teoría de la probabilidad, y también sobre el método de los mínimos cuadrados.

Biografía Johann Carl Friedrich Gauss

 Fue concebido en la aguada de Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777, en una modesta familia, fallece el 23 de febrero de 1855; Gauss un matemático, astrónomo, geodésico, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia.

Conoció al matemático Martin Bartels quien fue su instructor y aceleró su avance en Matemáticas. Ambos se concentraron juntos, se mantuvieron y se ayudaron mutuamente a traducir y comprender los manuales que tenían sobre matemáticas basadas en variables y examen básico. En estos años comenzaron a gestar una porción de los pensamientos y métodos para ver la ciencia, que más tarde retrató a Gauss.

Comprendió, por ejemplo, la ausencia de meticulosidad en numerosos espectáculos de los considerables matemáticos que lo antecedieron, entre ellos estan: Newton, Euler, Lagrange y otros; en 1801 Gauss distribuyó una obra planeada para impactar definitivamente la adaptación de la ciencia de lo que quede del siglo, y especialmente en el campo de la hipótesis numérica, Disquisiciones Aritméticas.

1) METODO DE GAUSS SEIDEL

Una modificación del método de Jacobi que permite acelerar la convergencia consiste en utilizar cada  xk  calculado para jjk-1  debido a que los valores xki previamente calculados son una mejor aproximación

Mediante la expresión matricial de Gauss-Seidel, es posible construir la sucesión convergente cuyo límite será la solución del sistema. Partiendo de un vector inicial dado x(0) y reemplazando los  calculados para cada jaii ≠ 0 se obtiene la expresión iterativa o ecuación del método de Gauss-Seidel:[pic 2]