Matematicas optimizacion

Matemáticas

II

Tema 1

Apuntes

Tema 1

En bachiller ya resolvimos problemas de optimizar funciones de una variable, pero en economía se requieren varias variables. Comenzaremos con unos ejercicios de motivación para centrar la asignatura. (pág. 1)

1. Formulación general. Clasificación.

Un problema de programación matemática consiste en determinar los valores de ciertas variables de decisión, que, dentro de un conjunto de posibilidades, llamado conjunto factible, optimizan una función dada. Se entiende por optimizar calcular el máximo y el mínimo.

Hallar el máx/min de <- función de varias variables[pic 1]

Sujeto a   ->    [pic 2]

Para resolverlo será de utilidad clasificarlo:

1. Diferenciabilidad

1. (P) diferenciable. Función objetivo y restricciones de clase .[pic 3]
2. (P) no diferenciable. Solo hay 1 ej y es de ejemplo, no importante.

1. Tipo de restricción

1. Sin restricciones (T.2)
2. Restricciones de igualdad (T.3)
3. Restricciones de desigualdad
4. Programas mixtos

1. Linealidad de las funciones

1. Lineal
2. No lineal

1. Por su convexidad[pic 4]

1. Convexa

Se llama programa convexo a aquel que i) su conjunto factible es convexo y ii) se maximiza una función cóncava o se minimiza una función convexa.

1. Cóncava[pic 5]

1. Definiciones. Teorema de Weierstrass.

El objetivo ante un problema de programación matemática es resolverlo, es decir:

1. Encontrar los puntos del conjunto factible que maximizan o minimizan la función objetivo
2. Determinar dicho mínimo o máximo

Se pueden definir los distintos tipos de solución:

Una función [pic 6]

• Se dice que tiene un mínimo absoluto o global en

 [pic 7]

• Se dice que tiene un máximo absoluto o global en

 [pic 8]

Si las restricciones anteriores “<” o “>” el punto además puede caracterizarse como mínimo/máximo absoluto estricto.

En general no es fácil que sea ABSOLUTO por lo que en la práctica hay que acostumbrarse a un término menor, RELATIVO.[pic 9]

Se dice que tiene un mínimo relativo en

       [pic 10]

Se dice que tiene un máximo relativo en  

 [pic 11]

[pic 12]

En el T.3 se definirá un nuevo concepto para asegurar que los puntos además de maximizar la función satisfacen las restricciones. A la hora de resolver un problema de programación matemática, el interés se centra en la localización de los óptimos globales. Sin embargo, las técnicas de localización para funciones diferenciables proporcionan máx/min locales, siendo necesario acudir a resultados teóricos para caracterizar los óptimos como globales. Esos resultados pueden ser de 2 tipos:

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