Matrices Inversas

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MATRICES INVERSAS

Métodos para resolver matrices inversas

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Instituto Tecnológico de Veracruz

Rodrigo Torrealba Cruz/ E18020774

Segundo semestre

Matrices inversas

Ing. Amanda

Álgebra Lineal

Índice

Matrices inversas

Método de Gauss para resolver una matriz inversa.

Método de cofactores para resolver una matriz inversa.

Calcular matriz inversa

Calcula la inversa de las matrices E y F usando el método de Gauss

Calcula la inversa de las matrices M y N usando el método de cofactores

Matrices inversas

Características de la Matriz Inversa

Cuando se tiene que A es una matriz cuadrada de dimensión nxn y es regular (su determinante es distinto de 0), entonces existe una matriz llamada matriz inversa de A,  esta es representada como , tal que:[pic 5]

• es de dimensión nxn[pic 6]
•  es el inverso multiplicativo de A por ambos lados, es decir:[pic 7]

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• Siendo  la matriz identidad de dimensión nxn.[pic 9]
• Su determinante es

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• es única, es decir, es la única matriz que cumple las igualdades del segundo punto (inverso multiplicativo).[pic 11]

Método de Gauss para resolver una matriz inversa.

Dada una matriz A, su inversa es tal que cumple lo siguiente:[pic 12]

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Se puede decir que la matriz inversa está compuesta por elementos nulos a excepción de que cuenta con una línea en diagonal de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, donde sus elementos son 1.

Representada del modo:

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Para poder calcular la matriz inversa por el método, la determinante de la matriz A debe ser diferente de cero.

1. Teniendo una matriz A, se tomará como ejemplo una de 3x3, se debe colocar la matriz, además de añadirle la matriz identidad en la parte derecha, puede separarse por una línea vertical divisoria.

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El método de Gauss lo que  pretende es pasar la matriz identidad a la izquierda. Lo que quede en el lado derecho será la matriz inversa. Se quiere conseguir:

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Lo que resulte en las líneas horizontales será la matriz inversa .[pic 17]

2. En la matriz inicial, se debe transformar la posición A(1,1), (recordando que las filas son las líneas en horizontal y las columnas en vertical, además de que para referirse a alguna posición en una matriz, se deben tomar en cuenta primero las filas y luego las columnas) para encontrar el primer pivote(El primer elemento uno).

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Para poder calcularlo se debe identificar la fila donde se encuentra el pivote y tomar en cuenta el multiplicativo de él, para que este sea uno.

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Donde n es el número multiplicativo.

Cada elemento de la  se debe multiplicar por n, obteniendo así una nueva fila y un pivote.[pic 20]

3. Al tener ya la matriz modificada con el primer pivote, se debe transformar el elemento que está debajo de él, (en la misma columna), para que sea cero y seguir así el orden para igualar a la matriz identidad.

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Esto se logra considerando la fila que se va a modificar, en este caso es A(2,1); al cual se le restará o sumará la cantidad que necesite para que sea nulo, multiplicándolo por la fila del pivote de la columna a la que pertenece A(1,1).

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Considerando que n es el número para que el elemento sea nulo. Se multiplicará n por la fila del pivote () y resultará una fila1 modificada. [pic 23]

Como se observa en la fórmula, puede sumar o restarse una fila a otra dando así a la nueva fila .[pic 24][pic 25]

La operación se debe colocar en forma de lista (para que sea más entendible), poniendo como minuendo a la fila 2 ( y sustraendo a la fila 1 modificada. A continuación, se debe realizar la operación que se necesita (sea suma o resta), dando así a la nueva fila 2 (.[pic 26][pic 27]

El método de Gauss lleva un orden, y este es transformar siempre desde el primer elemento de arriba de la matriz, hasta el último, es decir, de arriba a abajo.

4. Para terminar con esa columna se tiene que transformar el último elemento de él a cero.

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El procedimiento y la lógica de la fórmula es la misma, solamente se deben sustituir los valores por los que necesitamos; en este caso, se modificará la fila 3 (), n será un número diferente y el pivote sigue estando en la misma posición, será el mismo, siempre y cuando no se avance a una columna diferente.[pic 29]

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