Medidas De Posicion

MEDIDAS DE POSICIÓN

LOCALIZAN EL CENTRO DE LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.SE DENOMINAN TAMBIÉN MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE LOCALIZACIÓN.DENTRO DE ESTAS TENEMOS:LA MEDIA ARITMÉTICA,MEDIA PONDERADA,MEDIA GEOMÉTRICA,MEDIA ARMÓNICA,MEDIANA,MODA,CUANTILES,ETC.

SI TENEMOS POCOS DATOS UTILIZAMOS LAS FORMULAS DE DATOS NO TABULADOS(LLAMADOS TAMBIÉN DATOS ORIGINALES O DATOS SIN TABULAR).

SI TENEMOS MUCHOS DATOS UTILIZAMOS LAS FORMULAS DE DATOS TABULADOS(LLAMADOS TAMBIÉN DATOS AGRUPADOS);ES DECIR CUANDO TENEMOS LAS TABLAS DE FRECUENCIAS.

MEDIA ARITMÉTICA ( μ ) (X ̅)

ES LA MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL MÁS CONOCIDA Y DE MAYOR USO.FAMILIAR A TODOS NOSOTROS.

PARA DATOS NO TABULADOS

TAMBIÉN SE DICE DATOS BRUTOS,DATOS ORIGINALES , DATOS SIN TABULAR.

SE OBTIENE AL SUMAR TODOS LOS DATOS Y DIVIDIR EL RESULTADO ENTRE EL NÚMERO TOTAL DE DATOS.

(X ̅) = (X1+X2+X3+⋯+Xn)/n

(X ̅) = (∑_(i=1)^n▒Xi)/n

EJEMPLO:LOS PESOS DE CINCO ALUMNOS SON :50,57,80,78,75 KG.HALLAR EL PESO MEDIO. (X ̅) = (50+57+80+78+75)/5=340/5=68 Kg.

PARA DATOS TABULADOS ( Y ̅ )

TAMBIÉN SE DICE DATOS AGRUPADOS

SI LOS DATOS ESTAN CLASIFICADOS EN UNA TABLA DE FRECUENCIAS,CON MARCAS DE CLASE Yi Y FRECUENCIAS ABSOLUTAS ni, DONDE i = 1,2,3,….m ENTONCES:

Y ̅ = (Y1n1+Y2n2+⋯+Ymnm)/n=(∑_(i=1)^m▒Yini)/(∑_(i=1)^m▒ni)=(∑_(i=1)^m▒Yini)/n

SABEMOS QUE: h_i = n_i/n ,ENTONCES OTRA FORMA SERÍA:

Y ̅ =∑_(i=1)^m▒Yihi

EJEMPLO: CONSIDEREMOS LOS DATOS ANTERIORES:

[Y´i-1 Y´i) Yi ni hi Yi*ni Yi* hi

[73 79) 76 2 0.04 76*2=152 76*0.04=3.04

[79 85) 82 6 0.12 82*6=492 82*0.12=9.84

[85 91) 88 8 0.16 88*8=704 88*0.16=14.08

[91 97) 94 11 0.22 94*11=1034 94*0.22=20.68

[97 103) 100 13 0.26 100*13=1300 100*0.26=26

[103 109) 106 8 0.16 106*8=848 106*0.16=16.96

[109 115) 112 2 0.04 112*2=224 112*0.04=4.48

TOTAL 50 1.00 4754 95.08

Y ̅ = (Y1n1+Y2n2+⋯+Y7n7)/(n1+n2+⋯+n7)=(∑_(i=1)^7▒Yini)/(∑_(i=1)^7▒ni)=(∑_(i=1)^7▒Yini)/n

Y ̅ = (76*2+82*6+⋯+112*2)/(2+6+⋯+2)=4754/50=95.08

OTRA FORMA:

Y ̅ =∑_(i=1)^7▒Yihi=Y1*h1+Y2*h2+….+Y7*h7

Y ̅=76*0.04+82*0.12+…+112*0.04=95.08

LA MEDIA ARITMETICA PONDERADA

A VECES ASOCIAMOS CON LOS NÚMEROS Y1,Y2,..Ym CIERTOS FACTORES PESO (O PESOS)W1,W2,..Wm,DEPENDIENDO DE LA IMPORTANCIA ASIGNADA A CADA NÚMERO.

Y ̅ = (Y1W1+Y2W2+⋯+YmWm)/(W1+W2+⋯+Wm)=(∑_(i=1)^m▒YiWi)/(∑_(i=1)^m▒Wi)

SE LLAMA LA MEDIA PONDERADA CON LOS PESOS W1,W2,….,Wm.

EJEMPLO:SI EL EXAMEN FINAL DE UN CURSO ES TRES VECES MÁS IMPORTANTE QUE EL EXAMEN PARCIAL Y EL PROMEDIO DE PRÁCTICAS Y UN ESTUDIANTE TIENE CALIFICACIONES DE 15 EN EL EXAMEN FINAL,12 EN EL PARCIAL Y 10 EN ELPROMEDIO DE PRÁCTICAS,CUAL ES SU CALIFICACIÓN.

Y ̅ = (1*12+1*10+3*15)/(1+1+3)=67/5=13.4=13

LA MEDIANA (Me)

ES EL PUNTO O VALOR QUE DIVIDE LA DISTRIBUCION DE LOS DATOS EN DOS PARTES IGUALES SIEMPRE Y CUANDO LOS DATOS ESTÉN ORDENADOS ASCENDENTE O DESCENDENTEMENTE.

PARA DATOS NO TABULADOS

EL LUGAR DONDE SE ENCUENTRA LA MEDIANA ES IGUAL A :

(n+1)/2

EJEMPLO: X:3,5,1,0,7,6,9,10

LUEGO ORDENAMOS EN FORMA CRECIENTE: 0,1,3,5,6,7,9,10

n = 8 LUGAR DONDE SE ENCUENTRA LA MEDIANA=(n+1)/2=(8+1)/2=4.5

EL LUGAR DONDE SE ENCUENTRA LA MEDIANA ESTA ENTRE EL CUARTO Y QUINTO LUGAR ES DECIR EL VALOR SERA: Me=(5+6)/2=5.5

EJEMPLO: X:5,8,13,7,1,3,9.

ORDENAMOS EN FORMA CRECIENTE:1,3,5,7,8,9,13.

LUGAR DE LA MEDIANA :(n+1)/2=(7+1)/2=4 LUGAR ∴ Me=7

PARA DATOS TABULADOS (Me)

SE OBTIENEN LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS ACUMULADAS (Ni)

SE DETERMINA LA CLASE DONDE SE ENCUENTRA LA MEDIANAPARA ESTO SE HACE LA DIVISIÓN:

n/2; DONDE n ES EL TAMAÑO DE LA MUESTRA .

3.SE APLICA LA FORMULA:

Me=Linferior+(( n/2-Ni-1))/ni C

DONDE: Me=Mediana

C =Amplitud interválica

n=Tamaño de muestra

ni =Frecuencia simple de la clase de la mediana.

Li =Límite inferior de la clase de la mediana

Ni-1 = frecuencia acumulada anterior a la clase de la mediana.

EJEMPLO:TOMAMOS EL EJEMPLO ANTERIOR:

[Y´i-1 Y´i) Yi ni Ni

[73 79) 76 2 2

[79 85) 82 6 8

[85 91) 88 8 16

[91 97) 94 11 27

[97 103) 100 13 40

[103 109) 106 8 48

[109 115) 112 2 50

TOTAL 50

1.-OBTENEMOS LAS FRECUENCIAS ABSOLUTAS.

2.-BUSCAMOS EL LUGAR DE LA MEDIANA n/2 =50/2 =25 SE OBSERVA EL VALOR INMEDIATO SUPERIOR EN LAS F.A.ACUM.

EN ESTE CASO 27.

3.-APLICA LA FORMULA:

C=97-91 =6 n = 50 ni =11 Li = 91 Ni-1 = 16

Me=Linferior+(( n/2-Ni-1))/ni C

Me=91+(( 25-16))/11 6=95.91

USOS DE LA MEDIANA:

CUANDO LOS DATOS TIENEN VALORES EXTREMOS MUY GRANDES O MUY PEQUEÑOS,OSEA VALORES MUY ALTOS O MUY BAJOS.LA MEDIANA SIEMPRE SEÑALA EL PUNTO QUE DIVIDE A LOS DATOS EN DOS PARTES IGUALES,50% A UN LADO Y 50% AL OTRO,SIN IMPORTAR DONDE SE HALLA ESE PUNTO.

CUANDO NECESITAMOS CONOCER SI LOS DATOS QUE NOS INTERESAN ESTÁN DENTRO DE LA MITAD SUPERIOR O INFERIOR DE LA DISTRIBUCION DE LOS DATOS Y NO TIENE IMPORTANCIA SU ALEJAMIENTO DE LOS DATOS CON RESPECTO AL CENTRO DE LA DISTRIBUCIÓN.

LA MODA (Mo)

EN UN CONJUNTO DE DATOS ES EL VALOR QUE MAS SE REPITE; ES DECIR EL VALOR MAS FRECUENTE.LA MODA PUEDE NO EXISTIR,E INCLUSO NO SER ÚNICA EN CASO DE EXISTIR (UNIMODAL,BIMODAL,MULTIMODAL).

PARA DATOS NO TABULADOS

DETERMINAR LA MODA DEL SIGUIENTE CONJUNTO DE DATOS:

2,2,3,4,5,5,6,7,7,7,9,9,12

EL NÚMERO QUE MÁS SE REPITE ES EL 7 POR LO TANTO:

Mo=7 SE LLAMA UNIMODAL

15,19,20,35,47,59,65 NO TIENE MODA

8,9,9,13,13,13,18,20,24,24,24,33,59,78,78

LOS NÚMEROS QUE MÁS SE REPITEN SON 13 Y 24 POR LO TANTO:

Mo=13 Y TAMBIÉN Mo=24 SE LLAMA BIMODAL

……ETC.

PARA DATOS TABULADOS

CUANDO LOS DATOS ESTÁN AGRUPADOS FORMANDO UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SE USA LA SIGUIENTE FORMULA:

Mo = Linferior+(∆1/(∆1+∆2))C DONDE : D1 =ni – ni-1

D2 =ni – ni+1

Li = LIMITE INFERIOR DE LA CLASE MODAL

D1=ES LA DIFERENCIA DE LA FRECUENCIA DE LA CLASE

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